Según Hermipo de Esmirna, un antiguo biógrafo griego, Pitágoras (570 a.C – 490 a.C) estaba siendo perseguido por un grupo de soldados cuando se encontró ante un cultivo de habas.

Pero en vez de pasar por encima de las plantas y dañar las habas, Pitágoras prefirió entregarse y terminó siendo asesinado por los soldados.

Puede que sea difícil creer que el mismo Pitágoras que conocimos en la secundaria -el de los números irracionales y el del famoso teorema a2+b2=c2-, hubiera preferido salvar un cultivo de habas que su propia vida, pero las anécdotas de la antigüedad revelan que este matemático pudo ser uno de los personajes más peculiares de su época.

El profesor de la Universidad de Zürich, Christoph Riedweg, autor del libro “Pitágoras: su vida, sus enseñanzas y su influencia”, le dice a BBC Mundo que quizás la mejor manera para definir a este precursor del pensamiento occidental es como un “carismático polímata”, dada la diversidad de materias que abarcó.

Aunque sea difícil saber con certeza quién era Pitágoras, los pocos textos sobre él que sobreviven más de dos milenios después de su existencia -algunos escritos por contemporáneos suyos, otros escritos casi 150 años después de su muerte- dan testimonio de uno de los personajes más interesantes de la antigüedad.

1. El primer “filósofo”

Aunque en la actualidad el nombre de Pitágoras está relacionado con las matemáticas, hoy sabemos que, en su época, era reconocido como un estudioso de varias disciplinas.

Uno de los primeros testimonios históricos que hace referencia al polímata griego lo escribió Heráclito, un contemporáneo suyo del siglo VI a.C.: “Pitágoras, hijo de Mnesarco, practicó la investigación más que cualquier otro hombre, y haciendo una selección de estos escritos, fabricó sabiduría para sí mismo. Mucho aprendizaje, engaños elaborados”.

Este tipo de referencias a Pitágoras, en las que se le reconocen sus extensos conocimientos a la vez que se le tilda de “charlatán”, dan pistas a los historiadores que investigan al matemático, afirma Christoph Riedweg.

Por un lado, confirman que el genio griego era ya reconocido en su propia era, y lo que es más importante, parecen confirmar su existencia: “Estos primeros testimonios nos muestran cómo reaccionaban sus contemporáneos a sus enseñanzas e influencia”, dice Riedweg.

Al mismo tiempo, nos muestran que Pitágoras había recopilado información de muchas fuentes y había creado su propio pensamiento: extractos que se le adjudican al pensador griego Heráclides de Ponto aseguran que Pitágoras fue el primero en acuñar el término ‘filósofo’ para “resaltar su amor por el conocimiento”.

Riedweg explica que en la era presocrática de Pitágoras, Filos era un término que se usaba para exaltar la labor de un trabajador en su área específica (un filoplemos, dice, era un guerrero extremadamente hábil).

El profesor ve posible que Pitágoras hubiera acuñado el término “filósofo” para “diferenciarse a sí mismo y a sus seguidores de otros pensadores contemporáneos.”

2. Un místico y adivinador

Una de las críticas persistentes a Pitágoras de sus contemporáneos tenía que ver con su fama de “místico”.

“Uno de los fragmentos más antiguos que tenemos es de Jenofonte,” explica Riedweg, “quien cuenta en tono de burla una historia según la cual Pitágoras se cruzó con unas personas que golpeaban a un perro y les pidió que pararan, porque había reconocido en el animal la voz del alma de uno de sus amigos”.

Riedweg explica que estos episodios ayudan a fortalecer la imagen de Pitágoras como “líder carismático”: “Esta manera de hablar con animales es muy característica de los carismáticos en distintas culturas. Además, los que siguen a estos carismáticos están convencidos de que les ha cambiado el mundo, mientras que desde afuera, otros lo ven como un ‘timador’”.

La profesora de arte Christiane L. Joost-Gaugier señala en su libro “Midiendo el cielo: Pitágoras y su influencia en el pensamiento y el hambre”, que esta anécdota primitiva nos da luces sobre el pensamiento del personaje histórico.

“Jenofonte le atribuye tres creencias clave a Pitágoras: 1: los seres humanos tienen alma (noción que no era común en la época); 2: el alma es inmortal; y 3: en la muerte pasa de un ser a otro, proceso conocido como transmutación de almas o metempsicosis”.

Esta misma idea la usan historiadores de la antigüedad para justificar la aversión pitagórica por las habas, dice Riedweg: “Una de las cosas que decían algunos historiadores antiguos es que las almas tienen un elemento de aire, y como las habas tienen una tendencia a generar gases, podían hacer que el alma se escapara del cuerpo”.

Pero las referencias a las habilidades sobrenaturales de Pitágoras no paran ahí.

Aristóteles, quien vivió casi 150 años después del místico y pensador, lo consideraba un “matemático con un gran interés en los números”, que podía “predecir cuándo un oso blanco aparecería y fallecería y que podía morder y matar a una serpiente venenosa que lo hubiera mordido”.

Además aseguraba que un río lo había saludado por su nombre (¡alabado sea Pitágoras!) cuando lo iba a cruzar.

El filósofo Heráclides, por su parte, dice que “Pitágoras era capaz de recordar al menos cuatro vidas anteriores, incluida una en la que había sido un troyano llamado Euforbo que perdió su escudo en batalla con Menelao”.

3. El filósofo viajero

Muchos historiadores de la antigüedad coinciden en que, al menos parte de los conocimientos de Pitágoras, vinieron de otras culturas de la época.

“Gracias a biografías antiguas que tenemos -como una de Porfirio- sabemos que Pitágoras viajó bastante, en particular a Egipto”, cuenta Riedweg.

“Y es que los griegos tenían una afición particular por aquellas culturas más antiguas que la suya, en particular por Egipto, porque para Grecia, Egipto siempre fue una cultura muy antigua que tenía unos estándares muy altos”, agrega el biógrafo.

Muchos de los textos antiguos en los que se hace referencia a Pitágoras, hablan de sus viajes. Por ejemplo Antífono, en el siglo IV a.C. -que serviría de fuente a Porfirio- aseguró que Pitágoras había aprendido a hablar egipcio directamente del faraón Amosis II y que había sido el “único extranjero en ser aceptado para estudiar con los sacerdotes en Tebas”.

Los historiadores de la antigüedad, además, aseguraban que ahí había sido donde Pitágoras había aprendido los secretos de la “metempsicosis” o la transmigración de las almas.

También están las referencias a los viajes que Pitágoras habría hecho a Babilonia, donde los historiadores hoy saben se usaba su famoso teorema unos 1.000 años antes de su nacimiento.

“Sabemos que se usaba en Babilonia un buen tiempo atrás”, explica Riedweg, “uno asume que entonces lo que probablemente hizo Pitágoras fue dar una justificación teórica del teorema”.

También hay testimonios que dicen que Pitágoras había aprendido aritmética de los fenicios, de los magos en Persia e incluso, hay testimonios que lo relacionan con las enseñanzas de profetas judíos como Moisés.

4. Filosofía natural

Para la época de Pitágoras, algunos pensadores griegos se estaban alejando del concepto de los dioses y estaban empezando a explorar maneras alternativas para explicar lo que ocurría en el mundo.

“[El filósofo griego] Tales [de Mileto] ponía el agua al centro de su mundo. Él veía el agua como absolutamente esencial, como que todo está hecho de agua, y esa era la visión presocrática del mundo: hay una apariencia superficial y, debajo de ella, están las razones reales”, dice Riedweg.

“Para Pitágoras lo más básico, lo esencial, es el número”.

En uno de los pocos extractos que sobrevive de una de las primeras biografías de Pitágoras, su alumno Aristóxeno resalta lo que pudo ser la contribución más importante del genio griego al pensamiento occidental: “[Pitágoras] Rescató y promovió el estudio de los números más que cualquier otro, separándolo de una práctica netamente mercantilista, y relacionándolo todo con los números”.

Riedweg cree que esa revelación pudo llegar con sus estudios musicales, a través de los cuales descubrió la relación entre la división de una cuerda y el sonido que emite: “Yo asumiría que el descubrimiento de las proporciones básicas de la música fue uno de los descubrimientos más importantes que hizo Pitágoras”.

El descubrir la relación de la música con los números podría haberlo impulsado a buscar otras relaciones parecidas, las cuales encontró en todo, desde los astros hasta el comportamiento de las personas.

Por ejemplo, Pitágoras creía que el movimiento de los astros y sus distancias relativas concordaban con los intervalos musicales, y que estos debería producir un sonido armónico -imposible de percibir por los humanos por ser constante- conocido como “la música de las esferas”.

“Estos filósofos presocráticos realmente eran filósofos naturales”, dice Riedweg. “Era una filosofía que podías comparar con la física y la cosmología, porque estaban buscando explicar todo en el mundo, desde por qué una planta crece hasta por qué el Nilo se inundaba”, dice el profesor.

“Estos eran los filósofos que estaban tratando de descifrar las reglas que definen el mundo”.

Imagina que estás en un concurso de la televisión.

Tienes la oportunidad de ganar un automóvil nuevecito, pero para conseguirlo, debes elegir la puerta en la que están las llaves de entre tres opciones que tienes frente a ti.

Detrás de las otras dos puertas hay un premio que no consolaría a nadie: una cabra.

Supón que eliges la puerta 2, la de en medio, que te da una corazonada. Entonces el presentador te quiere ayudar y poner emoción al concurso revelándote qué hay detrás de una de las puertas (él ya sabe en dónde están las cabras y en cuál está el auto).

Así que abre la puerta 3, donde aparece una malhumorada cabra que ha estado encerrada un buen tiempo.

El presentador te hace una oferta: ¿te quedas con la puerta 2 que elegiste? ¿O prefieres cambiarla por la puerta 1?

Si lo piensas un poco, quedan dos posibilidades y puede ser que supongas que hay 50% de probabilidades de que aciertes y te ganes el auto, y 50% de que te vayas a casa con una cabra.

Pero si lo piensas mejor, como lo hizo Marilyn vos Savant, tendrías casi dos tercios de probabilidades (66%) de ganarte el auto.

Y todo tiene que ver con algo tan simple o tan complicado como un análisis de probabilidad.

Guinness de inteligencia

Marilyn Mach vos Savant, hoy de 76 años, fue durante mucho tiempo la columnista de “Pregúntale a Marilyn” (Ask Marilyn), un espacio en la prensa de EE.UU. en el que respondía a preguntas, acertijos y ofrecía sus puntos de vista sobre muchos temas.

También es autora de libros de ficción y no ficción, y fue empresaria de las inversiones. Pero desde niña tuvo otro título más notable.

Tras realizar un par de pruebas de coeficiente intelectual (IQ), en una de ellas obtuvo una puntuación de 228, más del doble que el promedio.

El libro de los Récords Mundiales Guinness la registró de 1985 a 1989 como la mujer con el IQ más alto del que haya registro. Por eso fue llamada “la persona más inteligente del mundo”.

Vos Savant es hija de inmigrantes europeos que se asentaron en la ciudad de San Luis, Misuri, en el centro de EE.UU., donde nació en agosto de 1946.

Estaba convencida de que la gente debería tener los apellidos de los dos padres. Y por eso adoptó el de soltera de su madre, Savant, que curiosamente quiere decir “persona sabia” en francés.

Conforme avanzaba en su educación, fue destacándose en matemáticas y ciencias en su escuela. Al cumplir 10 años, tomó las pruebas de IQ de Stanford-Binet y Hoeflin’s Mega. En esta última fue donde obtuvo el puntaje de 228 que la organización Guinness tomó en consideración.

Desde entonces era considerada una niña prodigio, a pesar de que eso no cambió mucho su estilo de vida. En su adolescencia, ha contado, ayudaba en la tienda de sus padres y le gustaba mucho leer.

Y lejos de interesarse en alguna prestigiosa universidad de la Ivy League de EE.UU., optó por estudiar filosofía en la Universidad Washington de su natal San Luis. Sin embargo, abandonó sus estudios para dedicarse a un negocio familiar de inversiones.

Pero su fama por la prueba de inteligencia la seguía.

En la década de 1970 generó el dinero suficiente para autofinanciar su deseo de ser escritora. Participó en publicaciones de pruebas de inteligencia, como el Omni I.Q. Quiz Contest, así como en obras literarias propias y artículos en revistas y diarios.

Luego de mudarse a Nueva York, apareció en el programa estelar de entrevistas de David Letterman y en el de Joe Franklyn. Casi siempre recibía preguntas sobre qué es la inteligencia.

“La inteligencia sería tu capacidad global para sacar provecho de la experiencia”, expuso a Franklyn. “El coeficiente intelectual podría, como mucho, medir tu capacidad para usar esa inteligencia”.

Por entonces creó la columna “Pregúntale a Marilyn”, distribuida a nivel nacional en la revista Parade que era incluida en muchos diarios.

Fue en 1989 cuando le preguntaron por el dilema de qué puerta elegir para ganar el premio. Su respuesta causó revuelo, incluso entre expertos en estadística y científicos.

La respuesta al acertijo

La idea en la que se basa el acertijo del automóvil y las cabras no era nada nuevo cuando llegó a la columna de Vos Savant.

Desde un par de décadas antes, era conocido como “El problema de Monty Hall” por el nombre del presentador del programa de televisión estadounidense Let’s Make a Deal (“Hagamos un trato”) en donde se presentaban situaciones similares.

El estadístico Steve Selvin, entre otros, presentó una solución en la revista académica American Statistician en 1975.

Pero fue la respuesta de Vos Savant, muy similar en la lógica a la de Selvin, la que generó revuelo.

“Sí; deberías cambiar. La primera puerta tiene un tercio de posibilidades de ganar, pero la segunda puerta tiene dos tercios de posibilidades. Esta es una buena manera de visualizar lo que sucedió. Supongamos que hay un millón de puertas y eliges la puerta número 1. Luego, el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas y siempre evitará la que tiene el premio, las abre todas excepto la puerta #777.777. Cambias la puerta rápido, ¿no?”, decía su respuesta.

Su afirmación produjo una lluvia de respuestas. Vos Savant dijo que recibió unas 10.000 cartas, incluidas unas 1.000 de matemáticos y doctores en diversas disciplinas, reseñó The New York Times en un artículo de 1991.

“¡La embarraste!”, dijo Robert Sachs, profesor de la Universidad George Mason, Virginia. “Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidades matemáticas del público en general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro, ten más cuidado“.

Durante un tiempo, Vos Savant defendió su respuesta, pese a las críticas.

“Estás completamente equivocada”, escribió E. Ray Bobo, profesor de matemáticas en la Universidad de Georgetown. “¿Cuántos matemáticos furiosos se necesitan para que cambies de opinión?”.

¿Estaba en lo correcto?

La respuesta de Vos Savant es correcta, siempre y cuando se cumpla que el presentador revele qué hay detrás de una puerta equivocada y ofrezca la oportunidad de cambiar. Es por ello que este problema pertenece a la rama de la probabilidad condicional.

Al hacer la elección de la puerta, comienzas el concurso con 1/3 posibilidades de ganar. Los otros 2/3 están bajo el control del presentador. Puedes haber elegido la correcta, pero aun así solo tienes 33% de probabilidades de éxito.

Cuando el presentador revela una de las opciones equivocadas, si cambias de elección sumas a tu favor otro tercio de posibilidades (66%).

El error usual es asumir que tienes 50% de probabilidades en ese momento, pues ahí ya se cumplió una condición (la apertura de una de las puertas) que genera un nuevo escenario.

El hecho de cambiar de puerta no garantiza que ganes el automóvil, solo aumenta las posibilidades siempre y cuando se cumpla la variable de que el presentador abra una puerta, que nunca será la que tiene las llaves del automóvil, sino una cabra.

Esto ha sido probado en múltiples ocasiones. Hace unos años, la BBC fue parte del experimento en el que estudiantes de la Universidad de Cardiff se dividieron en presentadores del programa y concursantes.

Aquellos que cambiaron tuvieron aproximadamente el doble de éxito, pues entre 30 concursantes que decidieron hacerlo, 18 ganaron el automóvil. Es decir, hubo una tasa de aciertos del 60%. En tanto, de 30 que se decidieron por mantener su elección solo hubo 11 aciertos, una tasa de 36%.

Vos Savant no recibió tantas cartas de disculpa como de críticas, pero una sí, la del profesor Sachs que dijo: “Ahora estoy comiendo del pastel de la humildad. Prometí como penitencia responder a todas las personas que escribieron para reprenderme. Está ha sido una profunda vergüenza profesional”.

Otros argumentaron que en la pregunta inicial del lector que escribió a “Pregúntale a Marilyn” jamás se especificó que el presentador debería obligatoriamente ofrecer un cambio o revelar una puerta.

En Let’s Make a Deal, Monty Hall de hecho tenía a su discreción ofrecer el cambio o no, e incluso llegó a añadir una variable más: dinero en efectivo para tentar al concursante a quedarse con su primera elección y, cuanto más ofrecía, más motivaba al concursante a cambiar de puerta y fallar.

Dar regalos costosos a todo el mundo, como un auto, no era la intención del programa. Y Hall era quien estaba al mando de la situación.

“Uno de los ultrasecretos de la guerra, una asombrosa máquina que aplica velocidades electrónicas por primera vez a tareas matemáticas hasta ahora demasiado difíciles y engorrosas de resolver, fue anunciado esta noche por el Departamento de Guerra”, informó The New York Times el 14 de febrero de 1946.

Hablaba de ENIAC, o Electronic Numerical Integrator And Computer (Computador e Integrador Numérico Electrónico), la primera computadora digital electrónica programable de propósito general, algo así como la tatarabuela del dispositivo en el que estás leyendo esto. El artículo detallaba que “fue inventada y perfeccionada por dos jóvenes de la Escuela Moore de Ingeniería Eléctrica: el Dr. John William Maulchy, de 38 años, físico y meteorólogo aficionado; y su asociado J. Presper Eckert Jr., de 26 años, ingeniero jefe del proyecto”.

Y agregaba que “muchos otros en la escuela también brindaron ayuda“.Relataba que el gobierno le había dado luz verde al proyecto en 1943 y “30 meses exactos después, [la computadora] estaba terminada y funcionando, haciendo fácilmente lo que laboriosamente habían hecho muchos hombres entrenados“.

Lo que no mencionaron en el extenso reportaje es que esos “muchos otros” que “brindaron ayuda” no eran “hombres entrenados” sino 6 talentosas matemáticas que, por cierto, brindaron muchísimo más que ayuda.

Esas omisiones no fueron de ninguna manera exclusivas del venerable diario, ni ese día ni cientos de otros días más.

Su hazaña fue pasada por alto, a pesar de que fueron ellas quienes asumieron el inmenso reto intelectual de programar la primera supercomputadora moderna del mundo, partiendo absolutamente de cero.

Y lo lograron.

“Damas del refrigerador”

Para ser justos, los periodistas no podían reportar lo que no sabían.

El campo de la informática estaba en pañales. Lo que habían visto era una enorme máquina y nadie entendía la programación.

Además, no les hablaron de ellas.

Aunque asistieron a la primera presentación pública de la supercomputadora, el 1 de febrero, les encargaron servir el café durante el evento.

A la segunda demostración, dos semanas después, a la que acudieron grandes personalidades de la comunidad científica y tecnológica, ni siquiera las invitaron, así como tampoco a la gran cena de lujo con el director de la Academia Nacional de Ciencias de EE.UU. con la que se celebró el logro.

De eso se enteró conversando con ellas décadas más tarde la abogada, científica de la computación e historiadora Kathryn Kleiman, autora del libro Proving Ground (“Polígono de pruebas”).

Había descubierto la existencia de las programadoras de ENIAC cuando era estudiante de Harvard en la década de 1980 y se topó con unas fotos de la histórica computadora.

“En las imágenes aparecían las mismas mujeres una y otra vez, pero sus nombres no estaban en los pies de foto“, le contó Kleiman a BBC HistoryExtra.

Obsesionada por identificarlas, consultó a Gwen Bell, cofundadora y luego directora del Museo de Historia de la Computación.

“Son damas del refrigerador”, le contestó, refiriéndose a las modelos que en la década de 1950 solían aparecer con los electrodomésticos en los comerciales.

La explicación no satisfizo a Kleiman en absoluto.

Se propuso averiguar los nombres de esas mujeres: Frances “Betty” Holberton, Kathleen “Kay” McNulty, Marlyn Wescoff, Ruth Lichterman, Frances “Fran” Bilas y Jean Jenningsz.

Al hacerlo, rescató su historia del olvido.

Una historia que comenzaba en los campos de batalla.

Las computadoras subcientíficas

Los buenos tiradores siempre se han valido de sus conocimientos sobre sus armas, las condiciones atmosféricas y el terreno para alcanzar el objetivo.

Con el desarrollo de la artillería, esa necesidad de conocimientos se agudizó.

Para la Segunda Guerra Mundial, “los grandes obuses tenían un rango de alcance de 14 a 23 kms, por lo que el artillero ni siquiera podía ver el objetivo”.

Los ejércitos tenían que tener en cuenta la distancia, la humedad, la densidad del aire, la temperatura y el peso del proyectil.

Cuando las tropas llevaron unidades de artillería al desierto, la diferencia de suelo con respecto a Europa requirió un nuevo conjunto de cálculos.

Esos cálculos señalaban con bastante precisión en qué ángulo disparar el arma para dar en el blanco…

..solo que tomaba unas 30 o 40 horas hacerlos, si sabías cómo resolver ecuaciones de cálculo diferencial.

Los soldados en el campo de batalla no tenían ni el tiempo ni, a menudo, los conocimientos necesarios, por lo que necesitaban tablas de tiro: unas listas con montones y montones de variaciones.

Para hacerlas, el ejército de EE.UU. reclutó a más de 100 personas calificadas que tuvieron que ser mujeres pues los hombres, a quienes se les habrían dado esos empleos, estaban en el frente.

El título del cargo era “computadoras”.

“La computadora era una persona antes de ser una máquina”, apuntó Kleiman.

Eso sí, por no ser hombres, su rango era de “subprofesional” o “subcientífica”.

De restringidas a responsables

Mientras las “computadoras” realizaban los laboriosos cálculos, Maulchy, Eckert y un equipo de hombres estaban dedicados a armar la máquina que, según le habían prometido al ejército, reduciría el cálculo de la trayectoria balística de una semana a pocos segundos.

Ambos equipos trabajaban en el mismo lugar, la Escuela Moore de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Pensilvania en Filadelfia, pero separados.

“De hecho, había un gran letrero que decía ‘Restringido’ en la puerta de la sala ENIAC, y las mujeres no podían entrar”.

Cuando la guerra estaba por terminar, Maulchy y Eckert confirmaron que el hardware experimental -de 2,5 metros de alto, 25 metros de largo y 30 toneladas de peso- funcionaba.

“Nadie estaba realmente seguro de que lo haría”, señaló Kleiman.

“Pero, cuando revisaron el contrato, se dieron cuenta de que lo que tenían que entregarle al ejército no era la ENIAC.

“Su misión no era construir una máquina, sino construir una máquina que calculara la trayectoria de la balística“, aclaró la autora.

Fue entonces cuando eligieron a las seis mejores “computadoras” y les dijeron:

“Nosotros la construimos, ustedes tienen que programarla. Y nos gustaría ver el programa pronto”.

A tientas

Aunque eran matemáticas altamente capacitadas, no había una hoja de ruta.

“Nos dieron unos grandes diagramas de bloques enormes… y se suponía que debíamos estudiarlos y descubrir cómo programarlos… Obviamente no teníamos idea de lo que estábamos haciendo”, recordó una de ellas.

Tendrían que buscar la solución a tientas en la oscuridad.

No existía ni uno de los cientos de lenguajes de programación que hay hoy en día.

Ni siquiera “podías sentarte frente a ENIAC y escribir las instrucciones. Sencillamente no había esa posibilidad“, señalo Kleiman.

“Por eso me parecieron tan fascinantes los pasos que dieron”.

“Primero tuvieron que aprender cómo funcionan las 40 unidades del integrador. Una era un multiplicador de alta velocidad; otra, un divisor de raíz cuadrada; y había 20 de algo llamado acumulador, que podían sumar, restar y almacenar temporalmente el número”.

En esencia, ENIAC era una serie muy avanzada de calculadoras que se conectaban entre sí para transmitir información de una máquina a otra.

“Luego tuvieron que descomponer la complicada ecuación para calcular trayectorias balísticas en los pasos muy, muy incrementales que el ENIAC, o de hecho cualquier computadora, pudiera manejar.

“Finalmente, tuvieron que enrutar físicamente los datos y las instrucciones, cada microsegundo del programa, para alimentar a ENIAC.

“Así que tenían unos cables gruesos para los números y lo enrutaban de una unidad a otra y tenían otros cables delgados para lo que se llama el pulso del programa: no era realmente una instrucción sino un pulso que iniciaba una operación.

“Si, por ejemplo, el multiplicador de alta velocidad estaba configurado para tomar dos números, al recibir ese pulso los multiplicaba y enviaba el resultado a otra parte de ENIAC”.

Brillando con luz propia

El resultado de ese enorme y brillante esfuerzo tanto de los inventores del hardware como de las inventoras del software de ENIAC fue esa “máquina asombrosa” que introdujo varias mejoras, entre ellas la utilización de un sistema binario, lo que le permitía realizar cálculos a una velocidad hasta entonces inimaginable.

Aunque tenía sus inconvenientes, principalmente que reprogramarla era una pesadilla: implicaba volver a cablearla, algo que podía tardar hasta dos días.

A pesar de eso, lo aprendido ayudó a los desarrolladores a mejorar la siguiente generación de computadoras.

Al final, uno de los principales logros de ENIAC fue mostrar el potencial de lo que se podía hacer.

Maulchy y Eckert se volvieron famosos y se les acreditó la creación y funcionamiento completo de lo que la prensa llamó “el gran cerebro”, “cerebro electrónico” y “Einstein mecánico”.

Las ENIAC Six fueron borradas de esa historia, pero continuaron impulsando avances tecnológicos.

“Si eres la primera en un campo, no hay nadie que pueda decir que no perteneces a él”, declaró Kleiman.

Cada una dejó su marca en la vanguardia de la informática.

Betty Holbertson, por ejemplo, creó el primer código de instrucciones, inventó la primera rutina de clasificación (aquello que te permite ordernar las cosas en tu computadora) y el primer paquete de software.

En 1959, era la jefa de la rama de Investigación de Programación en el Laboratorio de Matemáticas Aplicadas en David Taylor Model Basin; trabajó con Grace Hopper en el lenguaje de programación COBOL e inventó el teclado numérico.

Descreimiento

Proving Ground no es el primer trabajo en el que Kleiman cuenta “esta extraordinaria historia”, así como la de otras mujeres olvidadas del desarrollo de la tecnología.

En 2014 produjo un documental llamado “Las computadoras” en el que “las programadoras de ENIAC miran a la cámara y dicen: ‘Esto es lo que hicimos'”.

A pesar de eso, “algunos historiadores de la computación, particularmente los más jóvenes, dijeron: ‘No. El trabajo que hicieron no fue importante. No es posible que lo hayan hecho'”, contó Kleiman.

“Yo pensé que una vez señaláramos que solo se había escrito la mitad de la historia de la computación -la del hardware más que la del software; la de los hombres, mas no la de las mujeres- los historiadores se pondrían a completarla, pero no fue así.

“Finalmente, escribí el libro con tanta investigación, antecedentes y citas como pude encontrar, incluyendo lo que hicieron de programación en paralelo a su trabajo en ENIAC, que es muy sofisticado.

“Espero que ponga fin al rumor de que las mujeres no tuvieron un rol vital en los albores de la informática, para acabar con el estereotipo de que la computación es para hombres e inspirar a más chicas a incursionar en este campo.

“Necesitamos contar con las mejores personas en alta tecnología y computación y robótica e inteligencia artificial”.

* Si quieres escuchar la entrevista completa a Kathy Kleiman en BBC HistoryExtra, haz clic aquí.

Para ser más precisos, uno de los números primos, aquellos que son divisibles solo por 1 y ellos mismos, y que han sido motivo de fascinación desde los albores de la civilización.

O al menos desde hace aproximadamente 3.570 años, cuando, durante el reinado de Apofis I, el escriba egipcio Ahmes creó el papiro matemático Rhind y registró de manera diferente las fracciones cuyos denominadores eran números primos.

Los matemáticos les han dedicado millones de horas pues, además de ser hermosos, seductores y muy útiles, también son exasperantes: estos átomos de la teoría de números no tienen un patrón evidente, así que entre más se encuentran, más erráticos parecen ser.

Ni siquiera el inmenso poder de las computadoras ayuda mucho.

Pero, en ese largo y tortuoso camino para desvelar todos sus misterios, se han topado con curiosidades que comparten con los que no sabemos tanto para que nos deleitemos.

Son como deliciosos bocaditos de conocimiento que nos recuerdan cuán genial es el mundo de los números.

Y de tanto en tanto nos los sirven cuando estamos entretenidos con la cultura más popular.

Los fanáticos de la serie “The big bang Theory”, por ejemplo, recordarán quizás al doctor Sheldon Cooper decir…

“El mejor número es 73. ¿Por qué? 73 es el número primo número 21”.

“Su espejo, el 37, es el 12° y su espejo, el 21, es el producto de multiplicar 7 x 3”.

“En binario 73 es un palíndromo, 1001001, que al revés es 1001001”.

Probablemente a Sheldon también le gustaría el número que nos convoca aquí hoy, pues además de ser primo, comparte esa poética simetría de los palíndromos (resulta igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda),

Sin embargo, es más demoníaco.

El cazador

Fue encontrado por un cazador de primos (como se llaman los que se dedican a buscarlos… ¿recuerdas que son dificilísimos de hallar?).

Se trata de Harvey Dubner, un ingeniero eléctrico y matemático estadounidense conocido por sus contribuciones a la búsqueda de grandes números primos.

Dubner se puso a rastrear un conjunto de primos partiendo de 16661 y agregando ceros a cada lado, entre los 1 y los 6.

Es decir, empezó con 16661 -que es un número primo-, y chequeó si 1066601 también era un número primo. No lo era.

Hizo lo mismo con 100666001, 10006660001… y ninguno era primo, pero no se dio por vencido.

Continuó sin éxito hasta que llegó a 1000000000000066600000000000001 y… ¡eureka! encontró el primero de los números con esas características que era primo.

Dubner siguió con su laboriosa tarea y halló que los que tenían 42, 506, 608, 2472 y 2623 ceros agregados también eran números primos.

Pero…

Otro matemático, Cliff Pickover -nuestro tejedor de historias-, detectó ciertos rasgos infernales en ese primer número.

Desde un principio, el experimento de Dubner tenía en su corazón el 666, el número de la Bestia, según el Apocalipsis o Revelaciones, el último libro del Nuevo Testamento y de la Biblia cristiana, donde dice…

“Aquí hay sabiduría. El que tiene entendimiento, cuente el número de la bestia, porque es número de hombre; y su número es seiscientos sesenta y seis”.

Además, notó que ese número bestial en ese primer primo “estaba rodeado de 13 ceros en ambos lados, considerado durante mucho tiempo supersticiosamente como un número de mala suerte en la cultura occidental”, le dijo Pickover a BBC Mundo.

Encima, “tenía 31 dígitos en total, que es 13 al revés”.

El matemático decidió darle un nombre a 1000000000000066600000000000001: el primo de Belfegor.

Belfegor es uno de los 7 príncipes del infierno, el demonio del pecado capital de la pereza, pero también, curiosamente, del excremento, de ahí el grabado de madera incluido en el “Dictionnaire Infernal” de Jacques August Simon Collin de Plancy (1818 y 1863), en el que aparece elegantemente retratado en el retrete.

Aunque se le prestó mucha atención en la Antigüedad, su función fue cambiando y llegó a ser el encargado de tentar a los mortales con el don del descubrimiento y la invención, lo que no suena nada nefasto, pero ¡ve tú a saber!

El primo de Belfegor tiene además su símbolo: es una π (pi) al revés, y se deriva de un glifo de pájaro que aparece en el indecifrado Manuscrito Voynich del siglo XV.

¿Por qué?

Pickover es autor de 50 libros sobre temas que van desde las matemáticas y la medicina hasta la vida después de la muerte y la inteligencia artificial.

Su objetivo declarado es “exponer a una amplia audiencia las maravillas de la ciencia y las matemáticas”, y lo hace utilizando conceptos lúdicos pero complejos como “números de vampiros” e “hipercubos mágicos”.

“Francis Bacon (artista 1909-1992) dijo una vez: ‘El trabajo del artista es siempre profundizar en el misterio’, y utilizo este enfoque para gran parte de mi producción creativa”, le dijo a BBC Mundo.

“Descubrí que darle nombres a ciertos números o conceptos matemáticos ayuda a estimular el interés en personas de todas las edades”.

“El nombre ayuda a centrar la atención y la discusión, y rejuvenece el interés de los estudiantes por las matemáticas”.

“Las matemáticas son el martillo que rompe el hielo de nuestro inconsciente“, concluyó.

Esa es una de las preguntas que plantea Eduardo Sáenz de Cabezón, doctor en matemáticas, experto en Álgebra computacional y profesor de Lenguajes y Sistemas informáticos en la Universidad de La Rioja, España.

“Las matemáticas te dicen que es mejor ir a la fila que tiene pocos carros, aunque estén llenos de productos, porque lo que más demora la fila es el pago. El proceso de pasar los productos es rápido, pero el proceso de pagar es lento. Entonces ve a la fila donde el proceso crítico va a ocurrir menos veces”, dice Sáenz.

Así como el razonamiento matemático puede resultar muy útil en la vida cotidiana, también puede ayudarte a descubrir la belleza de las cosas y a poner en duda aquellas verdades que parecen irrefutables.

Autor de libros como “Inteligencia matemática”, “Apocalipsis matemático” e “Inteligencia matemática: descubre el matemático que llevas dentro”, Sáenz, un apasionado de la divulgación científica, argumenta que las afirmaciones resbaladizas te llevan a sacar conclusiones incoherentes en campos tan distintos como el deporte, la medicina o la economía.

Por eso, incorporar el razonamiento lógico en la vida cotidiana, dice, nos protege del engaño o la manipulación y “nos hace más libres”.

Al mismo tiempo, agrega, las matemáticas nos abren una puerta a un “mundo muy hermoso” que puede estar al alcance de tus manos (incluso para aquellos que odiaban los números en la escuela).

¿Por qué se dedicó a las matemáticas?

Cuando yo tenía como 12 o 13 años, me regalaron un pequeño computador que se llamaba Spectrum, un dispositivo que había en los años 80, muy pequeñito.

Fue algo como “¡Guau!, ¿qué es esto?”. Con mis hermanos lo usábamos para jugar, pero también se podía programar. Entonces a mi me gustó programar y más tarde busqué estudiar algo con programación, pero no había nada en la universidad.

En ese momento la informática no estaba muy desarrollada y me dijeron que en la carrera de matemáticas, en los últimos años, había una especialización en computación, donde se podía aprender a programar más en serio.

Entré a matemáticas y allí descubrí una asignatura que era Álgebra abstracta. Cuando me di cuenta del poder del pensamiento abstracto dije otra vez “¡guau!”. Tenía como 19 años.

¿Qué le fascinó del Álgebra abstracta?

Había aprendido a hacer todo tipo de cálculos. Pero en el álgebra descubrí que había una idea y que esa idea resolvía todos los ejercicios de un cierto tipo. De pronto con una sola idea, solucionabas montones de ejercicios.

El álgebra era como elevar la mirada y ver que, al final, todos eran casos particulares de un mismo principio general, como cuando observamos la relación entre los números y la simetría en los giros de una figura. Es que los principios fundamentales son lo mismo, los mecanismos de pensamiento son lo mismo.

A mí eso me pareció brutal, porque la abstracción te permite comprender lo que hay dentro de los casos particulares, la esencia de las cosas.

Como ver patrones que se repiten en cosas que aparentemente no tienen ninguna relación…

Exacto. Hay una cosa en la que yo no les hice caso a mis profesores, cuando me decían que cada cinco años escribiera mi definición de matemáticas.

Si yo les hubiera hecho caso, tendría mi definición de cuando tenía 14 años, de cuando tenía 19, de cuando terminé la carrera, cuando hice el doctorado, cuando me asenté como investigador y claro, sería precioso tenerlas.

¿Cuál es tu definición actual?

Ahora mismo diría que las matemáticas son el arte de encontrar patrones. Y uso la palabra “arte” con toda intención, porque creo que las matemáticas son una de las cosas más creativas que existen.

¿Cuál es la relación entre las matemáticas y la creatividad?

Quizás lo más parecido en eso es la música. En la música tienes unos ingredientes muy sencillos: tienes 12 notas, si consideras los semitonos, una reglas de armonía, tienes simetrías y con esas reglas, pues tenemos a los Beatles, Bach, el heavy metal… tenemos todo eso.

Y esas reglas, esos ingredientes musicales, los usamos como un trampolín para la creación, no como una limitación.

En las matemáticas ocurre un poco eso. Tenemos unas reglas y las reglas son un trampolín para la creatividad.

Jugando con la Teoría de conjuntos, el álgebra o la geometría, uno puede construir mundos que son prácticamente infinitos.

¿Me puede dar un ejemplo para entender esa amplitud, de cómo las matemáticas pueden estar en todas partes y no nos damos cuenta?

Hay un profesor colombiano que se llama Lucho Recalde que dice que las matemáticas son contar, medir y ordenar, desde lo más simple a lo más sofisticado que quieras.

Un computador cuántico está contando y ordenando cosas, lo mismo la inteligencia artificial.

Ahora, yo te digo a ti, ¿en cuántas facetas de tu vida estás contando, midiendo y ordenando? Prácticamente en todo. Por eso detrás de cualquier ciencia, están las matemáticas.

Y eso es así cuando queremos hacer predicciones sobre cómo está avanzando una pandemia, o queremos saber a partir de qué momento es conveniente hacer confinamientos o paralizar la economía buscando un equilibrio para que no haya tantas muertes.

Todas esas decisiones las tomamos con datos.

También las matemáticas están relacionadas, por ejemplo, con la política, en el sentido de que los que toman decisiones pueden hacer cálculos engañosos y presentar la realidad de una manera que no es cierta, apoyándose en los números, ¿no?

Por eso es importante que tengamos un mínimo de alfabetización matemática, porque las matemáticas nos hacen más libres y menos manipulables, para ser capaces de entender si nos están presentando datos de una manera tendenciosa o no.

Si tú eres capaz de detectar cuando unos datos están bien o mal presentados, eres más libre.

Cuando te están diciendo, por ejemplo, que en Estados Unidos hay mucha más gente desempleada que en Suiza, claro que es así, porque la población de EE.UU. es 10 veces la de Suiza.

Entonces, por supuesto que va a haber más gente desempleada, porque hay más habitantes.

Pero lo que quiero que me digas es qué porcentaje de desempleo hay en EE.UU. y qué porcentaje hay en Suiza y ahí los podré comparar. Si no, estás haciendo una comparación absolutamente injusta.

Si yo tengo una mínima cultura matemática, voy a ser capaz de detectar este tipo de cosas y cuando alguien me dé una información, podré contrastarla. Y si puedo contrastar la información, entonces soy más libre. Soy más libre porque soy menos manipulable.

Eso pasa cuando me doy cuenta de fallos lógicos, cuando alguien hace una afirmación, y eso no tiene un sustrato lógico, es decir, se contradice a sí misma. Entonces, si me doy cuenta, si soy capaz de razonar lógicamente, será más difícil que me engañen.

De hecho, hay países muy pobres donde el desempleo es bajísimo, lo que puede parecer una gran noticia, pero es bajísimo porque la gente se cansó de buscar trabajo y, por lo tanto, no está dentro de la categoría formal de desempleado. Es decir, como no hay empleo, no hay desempleo…

Claro, esas definiciones que son resbaladizas, que te llevan a sacar consecuencias ilógicas, se dan en muchísimos sitios. Se aplica en el deporte, en la economía, en la política. Ahora mismo hay matemáticos trabajando en casi todos los ámbitos de la economía.

En España, por ejemplo, los estudios universitarios más solicitados son las matemáticas. En España tenemos un límite de plazas en todas las carreras, entonces haces un examen parsa entrar a la universidad y a la gente se le ordena según su nota y por eso hay una nota de acceso para cada carrera.

La nota de acceso más alta es la de matemáticas. Ahora tenemos al menos 10 solicitudes por cada plaza. Hay mucho interés porque hay toda una economía basada en el conocimiento que se extrae de los datos.

Si tú eres capaz de comprender cómo se extrae información de los datos, pues tienes una ventaja. Como los matemáticos buscamos patrones, la búsqueda de patrones o tendencias en economía, en deporte, en medicina, es clave.

Usted escribió el libro “Descubre al matemático que llevas dentro“, donde argumenta que las matemáticas no son tan odiosas como parecen. ¿Cuál es la premisa fundamental?

La premisa fundamental del libro es que todos somos matemáticos de lo que nos parece, es decir, casi todo el mundo identifica las matemáticas con las matemáticas de la escuela, que probablemente no le gustaron porque le generaron frustraciones. Y esa frustración las personas la arrastran desde la escuela.

Las matemáticas son mucho más que las matemáticas de la escuela. Y no quiero desprestigiar a las matemáticas de la escuela, pero muchas veces están enfocadas a obtener el resultado de una operación. Y las matemáticas son muchísimo más que eso.

Entonces, esto que hablábamos antes del pensamiento lógico, la concatenación de causas y consecuencias, es algo que lo tenemos muy bien cableado en nuestro cerebro y en nuestra experiencia personal.

Todos somos mucho más matemáticos de lo que nos parece. Y me he encontrado mucha gente que le encuentra mucho gusto a saber matemáticas. Una parte importante de eso es que les gusta deshacerse de esa frustración que arrastran desde niños.

Creo que ningún país puede permitirse una población que no ame las matemáticas.

Dado que las matemáticas también pueden expresar la belleza que hay en la naturaleza, en el universo, en el arte, ¿le parece que las matemáticas nos pueden ayudar a sentirnos más felices?

Absolutamente. Yo creo que las matemáticas pueden ser una fuente de felicidad. Las matemáticas nos pueden abrir una puerta para disfrutar más, no solo como una experiencia placentera, sino también como una intensificación de nuestra experiencia vital.

Nos permiten vivir una vida más intensa, una vida mejor. Cada vez que nos abrimos una puerta nueva que contribuya a esta intensificación de la vida, estamos creciendo como personas.

Las matemáticas te abren la puerta a un mundo muy hermoso.

Hay muchísimas cosas que uno no pensaría que son reales y, sin embargo, lo son.

Te voy a dar un ejemplo muy tonto, pero muy gráfico. Tienes una hoja de papel y la doblas sucesivamente por la mitad; cuando la has doblado seis o siete veces, ya no puedes seguir. Te queda un taquito de papel de un par de centímetros.

Entonces, si pudieras doblar una hoja de papel 54 veces… ¿qué altura tendría el taquito de papel?, ¿tendría la altura de una persona, de un edificio bajo, de un edificio alto?

Las personas se suelen sorprender cuando les digo, y demuestro haciendo las cuentas, que un papel de 0,01 milímetros de espesor, doblado 54 veces, recorre la distancia entre la Tierra y el Sol.

¿En serio?

Sí, sí. Uno hace las cuentas y los números no mienten. Cada vez que doblas el papel, multiplicas por dos el grosor, y sigues aumentando el grosor por dos y por dos y por dos, hasta completar 54 veces, sale algo así como 200 millones de kilómetros, mientras que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros.

O sea, que hasta nos sobra papel.

Hace un par de años, la microbióloga colombiana Luz Adriana Pérez y la antropóloga forense Ana Carolina Guatame se hicieron esta pregunta mientras estaban en un proyecto de investigación que involucraba víctimas del conflicto armado en el territorio colombiano.

Y se la hicieron a partir de los testimonios que iban recolectando: decenas de ellos relataban cómo los actores de la violencia, en especial los grupos paramilitares, lanzaban los cuerpos sin vida a los ríos para evitar que fueran hallados.

De hecho, un comandante paramilitar, Ever Veloza, más conocido como HH, lo había dicho alguna vez: “Si le sacaran el agua al río Magdalena, encontrarían el cementerio más grande del país”.

Hasta el momento, las autoridades colombianas han reportado que se han rescatado de los ríos de Colombia más de 1.000 cuerpos de personas consideradas víctimas del conflicto que afectó al país por más de 50 años.

“Pero por los relatos que escuchamos y lo que tienen algunas autoridades, la cifra es mucho mayor”, le cuenta a BBC Mundo la bióloga Pérez, quien trabaja para la fundación Equitas.

Entonces, tanto ella como Guatame comenzaron a hacerse preguntas: ¿Cómo se busca un cuerpo en un río?, ¿cómo se puede hacer la búsqueda en una cambiante masa de agua?

“Nuestro primer empeño al trabajar en estos temas es intentar dar respuestas a quienes llevan buscando información sobre sus seres queridos”, señala Pérez.

“Y descubrimos que, debido a la complejidad de la búsqueda en los ríos y lagunas, no existía un modelo similar al que sí se habían hecho en la búsqueda de las personas que habían sido desaparecido bajo tierra”.

Y así nació el proyecto de crear el primer modelo matemático para poder hallar cuerpos de desaparecidos en los cursos de agua de Colombia.

Modelo para armar

Sin embargo, apenas las dos científicas comenzaron a plantear el proyecto se dieron cuenta que tenía que formar un equipo multidisciplinario, que incluyera desde matemáticos y mecánicos de fluidos, a antropólogos forenses y hasta arqueólogos submarinos.

“Solo con nuestras especialidades científicas sabíamos que no íbamos a poder abarcar todo lo que teníamos como objetivo. Necesitábamos más investigadores de otras ciencias”.

Uno de los principales retos era medir el agua: su movimiento en la naturaleza, pero además esas dinámicas que la afectan y están relacionadas a eventos sociales y humanos como es un conflicto armado.

Es decir, un campo totalmente nuevo de investigación.

Así, decidieron acudir al Instituto del Agua de la Universidad Javeriana, liderado por el ingeniero y experto en hidrodinámica ambiental Jorge Escobar.

“Nunca nos habíamos aproximado a un tema así, pero nos movió la responsabilidad social de hacer algo con nuestra capacidad de ayudar a responder esas preguntas”, le cuenta Escobar a BBC Mundo.

“Lo primero que teníamos que encontrar era un río donde, además de que hubiera relatos de cuerpos que habían sido lanzados allí, también tuviera las condiciones de seguridad mínimas para poder llevar a cabo nuestras investigaciones”, explicó.

Después de varios meses, el río escogido fue La Miel. Este afluente del Magdalena, ubicado en el departamento de Caldas, a unos 500 kilómetros al occidente de Bogotá, tenía la particularidad de estar ubicado en la que fue una zona de conflicto entre los municipios de Norcasia y Samaná.

“Pero además, por ser parte del afluente de una represa, nos permitía de alguna manera tener una corriente controlada durante varios meses del año“, explica Escobar.

Tanto el equipo liderado por Puerta y Chingaté como el de Escobar estuvieron varios meses en la ribera del río, dentro de sus aguas e incluso debajo de ellas.

“Lo principal fue hacer una caracterización del río”, explica.

Los ríos por lo general están compuestos de tres accidentes hidráulicos: moyas, chorros y remansos. “Las moyas son donde se hacen remolinos, los chorros son caídas de agua que pueden ser pequeñas o grandes y los remansos es donde la corriente del río es más calmada”.

Caracterizar el río, explica, es ver dónde se halla cada uno de estos accidentes.

Después, con estos puntos bien identificados y con la ayuda de fotos satelitales, se procedió a medir qué pasaba con un cuerpo cuando recorría el curso de agua y se encontraba con estos accidentes.

“Utilizamos un “dummy” (maniquí o muñeco) hecho mayormente de madera al que bautizamos Emilio. Y lo que hicimos fue medir tanto el movimiento del agua en estos puntos como el movimiento del dummy, para poder establecer varias conclusiones“, señala Puerta.

Todas estas mediciones, que duraron alrededor de dos años incluidos los de la pandemia del covid-19, y su posterior análisis, dejaron un modelo físico hecho a partir de las matemáticas por el que se puede recrear el río y su “comportamiento”.

El estudio dio puntos de interés donde podrían estar los cuerpos o restos de desaparecidos. A estos lugares se les dio el nombre de unidades geomorfológicas de interés forense, o UGIF.

“Pero sobre todo, nos da ciertos estándares que se pueden aplicar a cualquier cuerpo de agua en Colombia donde se estén haciendo este tipo de búsquedas”, concluye Escobar.

Arqueología subacuática

Sin embargo, a este acercamiento le faltaba un detalle: el cuerpo humano, a diferencia del dummy hecho de madera, no siempre flota.

“Al tener las UGIF con las mediciones hechas en el río, a ese modelo le debíamos incorporar los datos subacuáticos: qué pasa con el cuerpo cuando se hunde y, más importante aún, cuando se descompone”, anota Puerta.

Para eso, los integrantes del equipo hicieron dos cosas: primero llamaron al arqueólogo experto en exploración subacuática Carlos del Cairo y, luego, pusieron el cuerpo de un cerdo en varios puntos del río para ver el efecto del agua en el proceso de descomposición de tejidos orgánicos.

Para Del Cairo, quien había trabajado en el hallazgo del galeón San José en la costa del Caribe colombiano, el trabajo en el río traía varios requisitos distintos.

“Se pasa de trabajar de una superficie de búsqueda de cientos de metros cuadrados con una buena visibilidad a una en el río no superior de dos metros con una visibilidad mínima en algunas partes”, explica Del Cairo.

Sin embargo, lo que representó un mayor desafío era buscar estándares para rastrear elementos como huesos o restos de vestimentas tales como cinturones o correas, pedazos de pantalones o camisas.

“Tuvimos que adaptar nuestros equipos de medición en superficies subacuáticas para hallar objetos un poco inusuales. No es lo mismo que buscar tinajas o restos de barcos”, explica.

Todos los datos obtenidos -entre la exploración hecha por Del Cairo y los resultados que dio la descomposición del animal- lograron completar la fase inicial del proyecto, que ya se había adelantado con la caracterización del río.

“Esos datos nos permitieron primero tener una mayor certeza sobre los posibles lugares de interés para nuestra investigación, pero además ayudaron a afianzar los estándares para tener un modelo de predicción para la búsqueda de restos humanos en agua”, señaló Puerta.

Así, el equipo ha procedido a ubicar varios puntos dentro del cauce del río La Miel.

“Con estos puntos esperamos en los próximos meses realizar una búsqueda real de cuerpos de desaparecidos en La Miel, para completar el diseño del modelo matemático”, explica Puerta.

La importancia de esta investigación, señalan los científicos, radica en la importancia que el agua tiene en el país.

“Cerca de la mitad del área territorial de Colombia es agua: mar, ríos, lagos. Por eso, si vamos a hacer el esfuerzo de buscar la verdad sobre lo que ocurrió en el país, es fundamental que apoyemos estos procesos científicos para poder dar respuestas que posiblemente estén en el cauce de los ríos de Colombia”, explica Escobar.

“Colombia se construyó a partir de sus ríos”, concluye Del Cairo. “Por eso no podemos evadir la responsabilidad de buscar formas que ayuden a la reconstruir de lo que ocurrió en el país”.

Foto principal: Desde hace tres años se viene adelantando una investigación en el río La Miel. COMUNICACIONES U. JAVERIANA.

Maryna Viazovska es la segunda mujer en la historia que gana la Medalla Fields, distinción considerada como el Nobel de matemáticas.

Desde que se comenzaron a otorgar, en 1936, sólo una mujer la había obtenido: la iraní Maryam Mirzakhani, en 2014.

“Es una matemática brillante”, le dijo Christian Blohmann a BBC Mundo días antes. “La admiro porque su solución al problema del empaquetamiento de esferas es muy hermoso y extremadamente inesperado”.

El investigador del Instituto Max Planck de Matemáticas, en Alemania, hace referencia a que en 2016, Viazovska resolvió dos casos del famoso problema geométrico que había propuesto, en el siglo XVII, el gran científico alemán Johannes Kepler.

Por esa hazaña, ha recibido varias distinciones, pero su aporte no se ha quedado ahí.

“A raíz del resultado de Viazovska, en los últimos cinco años, se han estado abriendo líneas de investigación en diferentes sitios del mundo”, le dice a BBC Mundo Pablo Hidalgo, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas del Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España.

La experta en teoría de números fue distinguida en el Congreso Internacional de Matemáticos, en una ceremonia en Finlandia.

Los otros tres ganadores del reconocimiento que se entrega a matemáticos menores de 40 años, cada cuatro años, fueron: el francés Hugo Duminil-Copin, el estadounidense June Huh y el británico James Maynard.

El nombre de Viazovska venía sonando fuerte para alzarse con este galardón, incluso antes del Congreso que se celebró en 2018. En BBC Mundo, te contamos por qué.

Hija de Euclides

Albert Einstein lo dijo: “Si Euclides no logró encender tu entusiasmo juvenil, no naciste para ser un pensador científico”.

El matemático griego es precisamente uno de los héroes de Viazovska, que dice admirar las figuras extraordinarias que fueron capaces de “cambiar las matemáticas o la forma en que uno piensa sobre ellas”.

Así lo contó en una entrevista hecha por los organizadores del Premio New Horizons in Mathematics, distinción que se le otorgó en 2018.

Viazovska nació en Kyiv y desde pequeña le fascinaron las matemáticas, así que cuando llegó la hora de decidir su carrera universitaria, no tardó mucho.

Algo que le gusta de esa ciencia es que es posible determinar dónde está “la verdad”, distinguir lo incorrecto de lo correcto.

Tras graduarse en la Universidad Nacional Taras Shevchenko, se fue a Alemania a hacer sus estudios de posgrado.

Durante su postdoctorado en Berlín, uno de los problemas que incluyó en su propuesta de investigación fue el de las esferas que Kepler formuló en 1611.

Se concentró en él aproximadamente por dos años y llegó el momento “mágico” de encontrar la solución.

“Resultó ser más fácil de lo que pensé”.

Y aunque en esa entrevista deja ver sus dotes de pedagoga al simplificar el problema en una pregunta: “¿cuántas pelotas puedes meter en una caja muy grande?“, lo cierto es que las matemáticas que usó para llegar a su respuesta son de una complejidad inmensa.

Pensando en naranjas

Para Hidalgo, ese problema “tiene cierta trascendencia para el mundo real en el sentido de que personas sin estudios matemáticos pueden entender de qué se trata” y hasta pudieron haberse enfrentado a él en algún momento:

¿Cuál es la forma más óptima de ocupar un espacio con un cierto número de esferas, por ejemplo, naranjas?

Kepler se planteó el problema en tres dimensiones.

“Seguramente los fruteros ya se habían dado cuenta de que la mejor manera de organizar las naranjas era en forma piramidal”, dice el investigador español.

“Pero hay una diferencia sustancial entre: ‘parece que esa forma ocupa bien el espacio’ y tener la certeza de que ‘realmente esa forma es inmejorable para ocupar el espacio'”.

Kepler no lo pudo demostrar y no fue el único, matemáticos extraordinarios tampoco lo consiguieron.

Fue a finales de los años 90 del siglo XX, cuando el matemático estadounidense Thomas Hales hizo la demostración para tres dimensiones.

Pero lo fascinante de esta conjetura es que se puede llevar a círculos (dos dimensiones) o a esferas de cualquier dimensión.

“Lo que Viazovska consigue en 2016 es generalizar el problema”.

Encontró la forma óptima de empaquetar esferas de ocho dimensiones.

“No es que se hayan complicado los matemáticos inventando una forma extraña de empaquetar esferas, es el mismo problema, pero en una dimensión que como humanos no podemos visualizar“, indica Hidalgo.

Y aunque dichos empaques de esferas de dimensiones superiores sean difíciles de visualizar, “son objetos eminentemente prácticos”, escribió en 2016, la matemática Erica Klarreich, en el artículo de la revista Quanta: Sphere Packing Solved in Higher Dimension.

“Están íntimamente relacionados con los códigos de corrección de errores que utilizan los teléfonos celulares, las sondas espaciales e internet para enviar señales a través de canales ruidosos”.

25 páginas

De acuerdo con Hidalgo, la demostración a la que llegó Hales “era muy larga y muy complicada”.

Su resultado lo presentó en unas 250 páginas y necesitó muchos cálculos con computadoras.

“Se tardaron casi 20 años en comprobar que esos cálculos con ordenadores estaban bien”.

“Mientras que Viazovska hizo, para el problema de dimensión ocho, un artículo de 25 páginas”.

“Si le quitamos la introducción, las referencias bibliográficas y otros aspectos de forma, ella tiene 10 o 15 páginas de matemáticas, nada más, y con ellas demuestra un problema en una dimensión superior, por lo que podríamos decir que es más difícil que el que demostró Hales”.

Destaca el “trabajo tan minucioso, tan exacto, que hace una demostración más sencilla de entender que la anterior, que ocupó decenas de páginas”.

“Eso no quiere que sus páginas de matemáticas sean sencillas, son complejas”, señala. Pero para los expertos, son 10 páginas de matemáticas puras.

Desde Suiza, Özlem Imamoglu, profesora del departamento de Matemáticas de la Escuela Politécnica Federal de Zúrich (ETH Zürich), hace notar que la solución a la que llegó Viazovska “mediante la construcción de las llamadas funciones mágicas fue un logro espectacular”:

“La existencia de tales funciones había sido conjeturada por (Henry) Cohn y (Noam) Elkies en 2003, pero siguió siendo esquiva a pesar de los esfuerzos de muchos matemáticos brillantes”, le señala a BBC Mundo.

“La sencillez y elegancia de su demostración es asombrosa y admirable”.

Y sorprendente también sería que, tras resolver el problema del empaquetamiento de esferas en dimensión ocho, tan solo una semana después -esta vez con otros colegas- resolvió el problema en dimensión 24.

Su primera demostración es considerada una obra maestra, que le permitió a sus compañeros “entender bien el problema y generalizarlo para resolver un problema similar, aunque más difícil aún”, dice Hidalgo.

Aclara que el problema de los empaquetamientos óptimos en dimensiones altas sigue abierto, pues sólo se han hallado las configuraciones para la dimensión ocho y la 24.

Los puentes

Los expertos destacan que la belleza de la solución a la que llegó Viazovska es que interconecta diferentes áreas de las matemáticas.

Su resultado del empaquetado de esferas tiene mucho que ver con el análisis de señales o el análisis de Fourier, matemático y físico francés del siglo XIX.

“Toda la potencia del resultado de Viazovska surge de juntar, de maneras que no se conocían, dos áreas de las matemáticas: la teoría de números y el análisis de Fourier”, explica Hidalgo.

Y ahí, en su opinión, radica la fuerza de las matemáticas actuales.

Hay áreas que han evolucionado separadamente y “lo difícil y realmente interesante de las últimas décadas es establecer puentes entre ellas“.

“Puede ser extremadamente fructífero si alguien es capaz de establecer un puente robusto entre dos áreas distintas de las matemáticas y eso es lo que precisamente hizo Viazovska”.

“Necesitas mucho conocimiento y entendimiento sobre cuáles son las propiedades importantes de cada área para realmente poder juntarlas. De esa unión es que surgió su resultado”.

“Gracias a que estableció el contacto entre las dos áreas ya se entiende por dónde van las relaciones”.

“Ha abierto nuevas matemáticas que se siguen explorando y dando resultados y, con seguridad, eso seguirá sucediendo en el futuro”.

De hecho, Imamoglu señala que aunque Viazovska es “más famosa” por su solución al problema de empaquetamiento de esferas, “su trabajo sobre las fórmulas de interpolación de Fourier y las cuestiones de minimización de energía”, que ha realizado junto a otros distinguidos matemáticos, “merecen tanto reconocimiento“.

“Colaboración”

Cuando recibió el Premio New Horizons, Viazovska le agradeció a sus profesores, colegas y coautores, “ya que sin ellos ninguna de mis investigaciones sería posible”.

“La ciencia es un esfuerzo de colaboración, y es posible un progreso rápido cuando las personas comparten abiertamente sus conocimientos e ideas“, indicó.

Actualmente es profesora en la prestigiosa Escuela Politécnica Federal de Lausanne (EPFL), de Suiza.

Blohmann la conoció cuando era estudiante de doctorado en Alemania.

“Maryna es una persona extremadamente amable y modesta. Los reconocimientos y posiciones que ha conquistado no la han cambiado para nada”, le cuenta a BBC Mundo.

El 16 de marzo, el departamento de matemáticas del icónico ETH Zürich, donde estudió Einstein, ofreció la primera de las Conferencias Alice Roth, que se crearon en honor a la gran matemática suiza.

El objetivo con dichas sesiones es honrar a las mujeres que han conseguido logros sobresalientes en matemáticas.

Viazovska fue la invitada y su ponencia la tituló: “Pares de interpolación de Fourier y sus aplicaciones”.

Antes de adentrarse en las matemáticas de su presentación, recordó a una colega y compatriota.

“Reconstruiremos la paz”

“Hace tres semanas mi vida cambió para siempre de una manera muy dramática que nunca hubiese imaginado. Prepararme para esta ponencia me resultó muy difícil”, contó.

“Hoy me gustaría celebrar la vida y los logros de Alice Roth, pero también hay otra matemática que me gustaría recordar y espero que me acompañen.

Quiero también dedicar mi conferencia a Yulia Zdanovska, una matemática y científica informática de 21 años, cuya vida trágicamente terminó el 8 de marzo en la ciudad de Járkif”.

Zdanovska se quedó para “defender” la ciudad, tras la invasión rusa, pero “desgraciadamente murió en un ataque con un misil”.

“Los ucranianos están pagando el precio más alto por nuestras creencias y por nuestra libertad”.

Agradeció el apoyo recibido en estos “momentos de oscuridad“.

“Creo que saldremos adelante de alguna manera y reconstruiremos la paz, reconstruiremos nuestro mundo y, por supuesto, la ciencia y el pensamiento creativo jugarán un rol importante en eso”.

Después, se adentró en la magia de sus matemáticas.

Contar es algo fácil para los adultos, y es poco probable que recuerden cuándo o cómo adquirieron esta habilidad útil y aparentemente automática.

Sin embargo, cuando lo piensas, contar es un invento extraordinario.

Ayudó a los primeros humanos a comerciar, distribuir alimentos y organizar civilizaciones incipientes, sentando las bases de la vida tal como la conocemos hoy.

Pero la sensibilidad por los números no es exclusivamente humana.

Se ha descubierto que los pequeños peces guppy y las abejas, así como las hienas y perros, perciben y actúan sobre estímulos numéricos.

Entonces, responder a los números es un rasgo evolucionado que parece que compartimos con algunos animales, así como una habilidad que nos enseñan en algunas de nuestras primeras lecciones.

Como investigador en cognición numérica, estoy interesado en cómo los cerebros procesan los números.

Los seres humanos y los animales en realidad comparten algunas habilidades numéricas notables, lo que les ayuda a tomar decisiones inteligentes sobre dónde alimentarse y dónde refugiarse.

Pero tan pronto como el lenguaje entra en escena, los humanos comienzan a superar a los animales, lo que revela cómo las palabras y los dígitos sustentan nuestro mundo matemático avanzado.

Dos sistemas numéricos

Cuando pensamos en contar, pensamos en “uno, dos, tres”. Pero eso, por supuesto, se basa en el lenguaje numérico que los humanos y los animales jóvenes no poseen.

En cambio, utilizan dos sistemas numéricos distintos.

• 3 ecuaciones que gobiernan nuestra sociedad (y cómo puedes usarlas para “retomar el control de tu vida”)

Desde los diez meses de edad, los bebés humanos ya están familiarizados con los números.

Pero hay un límite en sus habilidades numéricas: solo pueden detectar cambios numéricos entre uno y tres, como cuando se quita una manzana de un grupo de tres manzanas.

Esta habilidad la comparten muchos animales con cerebros significativamente más pequeños, como los peces y las abejas.

Este primer sistema numérico, que ayuda a los bebés y los animales a percibir el número de un pequeño conjunto de objetos sin tener que contar realmente, probablemente se basa en un sistema de memoria de trabajo de atención interna que está abrumado por números superiores a tres.

A medida que crecemos, podemos estimar números mucho más altos, nuevamente sin necesidad de referirnos al lenguaje.

Imagina que eres un cazador-recolector hambriento. Ves dos arbustos, uno con 400 grosellas y el otro con 500.

Es preferible acercarte al arbusto con más frutos, pero es una gran pérdida de tiempo contar las bayas de cada arbusto individualmente.

Así que calculamos. Y lo hacemos con otro sistema numérico interno especializado para aproximar números grandes de manera imprecisa: el llamado “sistema numérico aproximado”.

Dado que existe una clara ventaja evolutiva para aquellos que pueden elegir rápidamente la fuente de alimento más abundante, no es sorprendente que se haya descubierto que los peces, aves, abejas, delfines, elefantes y primates poseen un sistema numérico aproximado.

En los humanos, la precisión de este sistema mejora con el desarrollo.

Los recién nacidos pueden estimar diferencias aproximadas en números en una proporción de 1:3, por lo que podrán decir que un arbusto con 300 bayas tiene más bayas que uno con 100.

Al llegar a la edad adulta, este sistema se perfecciona a una proporción de 9:10.

Aunque estos dos sistemas aparecen en una variedad de animales, incluidos los humanos jóvenes, esto no significa necesariamente que los sistemas cerebrales detrás de ellos sean los mismos en todos los animales.

Pero dado que tantas especies animales pueden extraer información numérica, parece que la sensibilidad a los números evolucionó en muchas especies hace mucho tiempo.

Símbolos numéricos

Lo que nos diferencia de los animales no humanos es nuestra capacidad para representar números con símbolos.

No está del todo claro cuándo los humanos comenzaron a hacer esto, aunque se ha sugerido que las marcas hechas en huesos de animales por nuestros parientes neandertales hace 60.000 años son algunos de los primeros ejemplos arqueológicos de conteo simbólico.

La externalización del proceso de contar puede haber comenzado con las partes de nuestro cuerpo.

Los dedos son herramientas naturales para contar, pero están limitados a diez.

El sistema de conteo tradicional del Yupno en Papúa Nueva Guinea extendió esto a 33 contando con partes adicionales del cuerpo, comenzando con los dedos de los pies, luego las orejas, los ojos, la nariz, las fosas nasales, los pezones, el ombligo, los testículos y el pene.

Pero a medida que nuestro apetito por los números creció, comenzamos a utilizar sistemas simbólicos más avanzados para representarlos.

Hoy en día, la mayoría de los humanos usa el sistema de numeración hindú-árabe para contar. Un invento asombroso, utiliza solo diez símbolos (0-9) en un sistema posicional para representar un conjunto infinito de números.

Cuando los niños adquieren el significado de dígitos numéricos, ya conocen las palabras numéricas.

De hecho, las palabras para números pequeños se encuentran típicamente dentro de los primeros cientos de palabras que producen los niños, recitando secuencias como “uno-dos-tres-cuatro-cinco” con facilidad.

Lo interesante aquí es que a los niños pequeños les lleva algo de tiempo comprender el hecho de que la última palabra en la secuencia de conteo no solo describe el orden del objeto en la lista de conteo (el quinto objeto), sino también el número de todos los objetos contados (cinco objetos).

Si bien esto es obvio para el adulto numerario, el llamado “principio de cardinalidad” es un paso conceptualmente difícil e importante para los niños, y lleva meses aprenderlo.

El aprendizaje de las palabras numéricas también está determinado por el entorno del lenguaje.

• Paul Cohen, el matemático que por resolver un problema terminó creando dos mundos

Los Munduruku, una tribu indígena en la Amazonía, tienen muy pocas palabras para números exactos, y en su lugar usan palabras aproximadas para denotar otras cantidades, como “algunos” y “muchos”.

Fuera de su vocabulario de palabras numéricas exactas, el rendimiento de cálculo del Munduruku es siempre aproximado.

Esto muestra cómo los diferentes entornos lingüísticos afectan la precisión de las personas cuando se trata de nombrar grandes números exactos.

Contando para calcular

Muchos niños y adultos luchan con las matemáticas. Pero, ¿alguno de estos sistemas numéricos está vinculado a la capacidad matemática?

En un estudio, se descubrió que los niños en edad preescolar con un sistema numérico aproximado más preciso tenían más probabilidades de obtener buenos resultados en aritmética el año siguiente en comparación con sus compañeros con un sistema numérico aproximado menos preciso.

Pero, en general, estos efectos han sido pequeños y controvertidos.

La capacidad de pasar de las palabras numéricas habladas (veinticinco) a los símbolos numéricos escritos (25) predice de forma más confiable las habilidades aritméticas en los niños de la escuela primaria.

Una vez más, esto muestra que el lenguaje juega un papel central en la forma en que los humanos calculan y cuentan.

Entonces, mientras los animales y los humanos extraen información numérica de su entorno de manera rutinaria, es el lenguaje lo que finalmente nos distingue, ayudándonos no solo a elegir el arbusto más cargado de bayas, sino a realizar el tipo de cálculos sobre los que descansa la civilización.

*Silke Goebel es profesora asociada de psicología en la Universidad de York, Inglaterra. Este artículo apareció originalmente en The Conversation. Puedes ver la versión original aquí.

En 1900, en un salón de conferencias de la histórica universidad parisina Sorbona, un alemán llamado David Hilbert le puso a los asistentes la tarea de matemáticas probablemente más difícil de la historia.

No eran, como suelen ser, ejercicios para aprender; eran preguntas que no tenían respuesta. Aún.

Hilbert era uno de los ponentes del Congreso Internacional de Matemáticos y la tarea era una lista de los que consideraba como los 23 problemas más importantes por solucionar.

La legendaria lista, conocida como “los problemas de Hilbert”, definió las matemáticas de la era moderna.

Muchos se han resuelto, otros no, pero tanto los intentos exitosos como los fallidos han llevado al desarrollo de matemáticas muy profundas a lo largo del camino.

Encabezando la lista estaba una duda que había dejado en el aire una de las mentes más geniales de la historia: la de Greog Cantor, el matemático que se propuso conquistar el infinito.

Su inclusión era controvertida, pues muchos en esa época rechazaban los abstractos mundos que Cantor les estaba mostrando.

Hilbert, sin embargo, era uno de los que lo apoyaban.

Infinitos

Cantor fue la primera persona en comprender realmente el significado del infinito y darle precisión matemática.

Antes de él, el infinito era un concepto complicado y resbaladizo que realmente no parecía ir a ninguna parte.

Cantor mostró que el infinito se podía entender perfectamente y que, de hecho, no había un sólo infinito sino muchos.

• Georg Cantor, el matemático que descubrió que hay muchos infinitos y no todos son del mismo tamaño

Probó que el infinito de los números enteros (1, 2, 3, 4…) era más pequeño que el de los decimales infinitos (0,0000149000…; 0,179249239…).

Así, abrió la puerta a un inmenso y desconcertante territorio por explorar en el que se contaban infinitos.

Y Cantor lo exploró sin tregua, resolviendo muchos interrogantes en el camino.

Pero hubo uno que no pudo solucionar por más que lo intentó, aquel que llegó a conocerse como la hipótesis del continuo.

¿Habrá un infinito entre el más pequeño de los números enteros y el más grande de los decimales?

Esa era la primera pregunta de la tarea que Hilbert le puso a sus colegas ese día de 1900 en la Sorbona.

Depende…

Cinco décadas más tarde, en Estados Unidos, un adolescente decidió enfrentarse a algunos de los principales problemas de las matemáticas.

Desde muy pequeño, Paul Cohen había ganado concursos y premios matemáticos, pero al principio le resultó difícil descubrir un campo en las matemáticas en el que realmente pudiera dejar su huella… hasta que leyó sobre la hipótesis del continuo de Cantor.

Hasta entonces, todos los intentos por resolver el problema, incluido el del mismo Hilbert, habían fracasado.

El único que había logrado rozar la línea final era el lógico, matemático y filósofo austríaco Kurt Gödel, miembro del Instituto de Estudios Avanzados (IEA) en Princeton.

• Quién era Kurt Gödel, el hombre que caminaba con Albert Einstein (y al que comparan con Aristóteles)

Con el arrojo de la juventud, Paul Cohen, de 22 años, decidió que podía hacerlo.

Un año después, reapareció con un extraordinario descubrimiento.

¿Había un infinito más grande que el conjunto de todos los números enteros pero más pequeño que el conjunto de los decimales?

Sí.

Y…

No.

Las dos respuestas podían ser verdaderas.

¿¡Cómo así!?

La hipótesis del continuo decía que no había un infinito en medio de esos dos infinitos.

Cohen mostró que había una matemática en la que la hipótesis podía asumirse como cierta.

Pero había otra forma de matemáticas igualmente consistente en la que esa misma hipótesis podía asumirse como falsa: en ese ámbito había un conjunto infinito entre el de los enteros y el de los decimales.

Era una solución increíblemente atrevida y la demostración ofrecida por Cohen parecía cierta y correcta, pero su método era tan nuevo que nadie estaba absolutamente seguro.

Sólo había una persona en cuya opinión todos confiaban: la de Gödel.

Gödel no había logrado demostrar que la hipótesis del continuo era realmente cierta, pero sí que era consistente, lo que significa que con los métodos matemáticos con los que se contaba, no se podía probar que fuera falsa.

Había recorrido un largo camino y logrado llegar a la puerta tras la cual estaba la solución. Y aunque no había podido abrirla, era él quien le podía confirmar a Cohen que, efectivamente, había logrado lo que se había propuesto.

• Marcus du Sautoy: “La fórmula para el infinito es simple: +1”

Sello de aprobación

Gödel comprobó la prueba y la declaró correcta.

“Acabas de lograr el progreso más importante en la teoría de conjuntos desde su axiomatización”, le escribió a Cohen en una carta. “Tu prueba es la mejor posible”, le escribió en otra. “Leerlo es como leer el libreto de una obra realmente buena”.

Con el sello de aprobación de Gödel, todo cambió.

Hoy en día, los matemáticos insertan una declaración que indica si el resultado depende de la hipótesis del continuo.

Y es que se han construido dos mundos matemáticos diferentes en los que una respuesta es sí y la otra, no.

Ahora, para la pregunta de si Paul Cohen sacudió el universo matemático, la única respuesta es afirmativa.

* Parte de este artículo se basa en la serie de la BBC “The Story of Maths” con el matemático Marcus du Sautoy