“Si no me hubiera convertido en general en jefe e instrumento del destino de un gran pueblo, (…) me habría lanzado al estudio de las ciencias exactas. Hubiese hecho mi camino junto a los Galileos y los Newtons.

Y como constantemente tuve éxito en mis grandes empresas, me habría distinguido mucho también por mis trabajos científicos. Habría dejado el recuerdo de hermosos descubrimientos. Ninguna otra gloria hubiera tentado mi ambición”, dijo Napoleón Bonaparte, según el físico francés François Arago.

No solo amó la ciencia, sino que vio que los científicos podían ayudarlo en su ambicioso proyecto político.

Así lo señala en el artículo Napoléon Bonaparte and Science, el destacado matemático francés Étienne Ghys, investigador emérito del Centro Nacional de Investigación Científica de Francia.

El emperador consiguió el apoyo de grandes científicos, como el matemático Gaspard Monge, considerado el inventor de la geometría descriptiva y padre de la geometría diferencial.

Monge lo acompañó en la campaña en Egipto, la cual “terminó con una derrota militar, pero con un notable éxito científico”, escribió Ghys.

“¿Se había visto alguna vez en la historia un ejército de invasores al que se unieran matemáticos, naturalistas, arqueólogos y filólogos?”.

De vuelta en París, en 1799, Napoleón dio el golpe de Estado que lo encaminaría hacia el poder absoluto en Francia.

Bajo su protección, que incluía incentivos económicos, premios y posiciones de alta jerarquía para los científicos, la ciencia francesa vivió un periodo realmente glorioso.

La cuestión matemática

El problema del transporte óptimo se trata de cómo transportar objetos de un lugar a otro de la manera más eficiente y económica posible.

Su origen se remonta a finales del siglo XVIII, a la época de la Revolución Francesa.

Lo formuló, en 1781, Monge, quien le vio su utilidad en el ámbito militar para saber cuál era la mejor manera de construir fortificaciones.

Y es que le tocó vivir en un periodo en el que Europa era sacudida por conflictos bélicos.

Fue con la llegada al poder de Napoleón que Monge se pudo concentrar plenamente en la cuestión que le intrigaba.

Como un gran estratega, el general también fue un promotor de la ciencia aplicada a la guerra.

Le urgía una respuesta sobre las fortificaciones, no quería perder tiempo, recursos ni mano de obra en sus campañas.

Así que Monge, que ya era un matemático muy reconocido y amigo de Napoleón, se halló en el momento y en el lugar perfectos para continuar profundizando en ese problema.

Complejidad

En términos prácticos, Monge, como Napoleón, quería saber dónde construir fortificaciones para minimizar costos. Pero había algo más.

“Como científico, Monge estaba también interesado en la cuestión teórica que había detrás: ¿cómo funciona el transporte óptimo en la teoría?”, indica Alessio Figalli, profesor de la prestigiosa Escuela Politécnica Federal de Zúrich.

Figalli, quien ha ganado diferentes reconocimientos por sus varias contribuciones al campo de las matemáticas, conquistó en 2018, con 34 años, la Medalla Fields, considerado el Nobel de matemáticas.

El transporte óptimo es precisamente uno de los conceptos en que ha concentrado su trabajo.

“Monge empezó a entender el problema desde una perspectiva geométrica y, para eso, hizo muchos dibujos”, explica.

Imaginemos que tenemos dos ciudades, A y B, y queremos construir una fortificación en cada una.

Si el objetivo es minimizar el transporte de materiales, es lógico que saquemos los que necesitáremos para la construcción en A de un lugar cercano a A, y de un sitio próximo a B para la que levantaremos en B.

No tendría mucho sentido extraerlos y enviarlos desde otros puntos más lejanos del país si no es necesario.

“Si solo tienes dos ciudades y dos sitios de extracción es muy fácil ver la solución: simplemente envías el material desde el lugar más cercano que haya”, señala Figalli, pero advierte:

“Si empiezas a tener más ciudades y más sitios de extracción, el problema se vuelve mucho más amplio y entender qué enviar a dónde podría no ser tan obvio”.

“Quizás la cantidad de material que extraigo de un lugar no es suficiente para todas las fortificaciones que tengo que construir en esa área y necesitaré traer material de un sitio más lejano”.

“Y si empiezas a pensar en números más grandes, por ejemplo, 10.000 ciudades y 200 puntos de extracción, el problema se vuelve más complicado. Buscas saber si hay una teoría matemática general que puedas usar”.

Una mirada económica

Monge realizó análisis muy interesantes y avanzó en el problema.

Pero Figalli nos pide recordar que en el siglo XIX no existían matemáticos profesionales en el sentido moderno: los científicos hacían matemáticas y otras muchísimas cosas más.

Además, fue un periodo en el que se le dio prioridad a otras teorías matemáticas.

Así es como el problema del transporte óptimo cayó un poco en el olvido: “después de Monge no pasó mucho por más de cien años”.

Fue en los años 40 del siglo XX que un matemático y economista soviético lo rescató.

“Leonid Kantorovich realmente entendió cómo atacar el problema”, señala el profesor.

“Desarrolló una robusta teoría matemática para estudiarlo y, a partir de eso, elaboró una teoría económica muy sólida que la gente podía usar para resolver problemas muy concretos. Por ejemplo, cómo las panaderías podían planificar la mejor manera de enviar sus panes a los distintos establecimientos de la ciudad”.

En 1975, Kantorovich fue merecedor del Premio Nobel de Economía, junto al holandés Tjalling C. Koopmans, por su trabajo en el campo de la teoría económica normativa, que es la teoría de la asignación óptima de recursos.

Son muchos los problemas que se pueden abordar con el concepto del transporte óptimo.

“Piensa en el viaje hacia el trabajo que hacen las personas cada día. ¿Cuál es la manera más eficiente de que lo hagan?”, indica el experto.

“Una de las razones que hace que ese problema sea difícil es porque no se trata de una ganancia personal, sino colectiva: no es que se quiera minimizar el tiempo que tú pasas desplazándote hacia tu trabajo, lo que se busca es minimizar el tiempo total de viaje al trabajo en todas las ciudades”.

“Eso quizás implique que tú tengas que viajar un poco más, pero si pensamos en el bienestar general de la población, la solución será la mejor posible”.

En los fluidos

En los años 80, el problema tomó un giro inesperado.

El matemático francés Yann Brenier se dio cuenta de que el concepto de transporte óptimo se podía usar en el estudio de fluidos.

“Fue mágico”, dice Figalli. “Nadie se lo esperaba”.

“Brenier estaba estudiando el movimiento del agua, problemas relacionados con la dinámica de fluidos, que es un campo de la matemática y también de la ingeniería en el que intentas entender cómo se transporta el agua, cómo se comporta en una tubería, en un recipiente, pero también en fenómenos físicos complejos, como un huracán”.

“No fue que Brenier hiciera de repente un nuevo descubrimiento en dinámica de fluidos, lo que sorprendió fue que hiciera la conexión con el concepto de transporte óptimo. La gente se dio cuenta de que este problema era más rico de lo que parecía”.

“Y los matemáticos aman eso, que se establezcan conexiones entre problemas”.

Surgió una especie de renacimiento del problema y en los 90 hubo un boom. “Fue como si se hubiera puesto de moda, se volvió super cool”.

“Es que los matemáticos somos animales sociales. Aunque exista la leyenda de que nos quedamos en nuestras cuevas trabajando solos, en realidad la matemática es una actividad muy social en la que el intercambio de ideas es constante”.

De moda

El inicio de la década de los años 2000 fue la era dorada del problema, cuenta el profesor.

Él era un muy joven estudiante en la Scuola Normale di Pisa y también se interesó en el transporte óptimo. Quedó finalmente cautivado cuando cursaba su último año de Master. Al año siguiente (en tan solo un año) obtendría su PhD.

“Este problema es muy complejo. Hay tantas variables, posibilidades, que necesitas construir una nueva teoría. Lo que se haya hecho hasta ahora no es suficiente para resolverlo y ahí está la belleza: este problema te obliga a desarrollar matemáticas nuevas”.

¿Tiene una respuesta final?, le pregunto.

“En matemáticas nunca hay una respuesta final”, contesta. “En un problema como este siempre hay cosas nuevas, no es que esté solo, aislado, este es un problema macro”.

Y me invita a pensar en la sangre que está circulando por mi cuerpo como un fenómeno de transporte.

“¿Estás interesada en fortificaciones? ¿Estas interesada en la sangre? Dependiendo del problema, hay diferentes respuestas”.

Así es cómo entiendo lo que quiere decir cuando asegura que “nunca hay una respuesta final”: si bien pueden haber soluciones a contextos específicos y necesidades concretas, no será la respuesta definitiva a todo lo que puede llegar a implicar el concepto de transporte óptimo.

Y es que sus aplicaciones parecen ser tan vastas como el cielo mismo.

Entre nubes

Y así, sin ir muy lejos, Figalli me habla de sus usos en meteorología.

“Desde un punto de vista teórico, el movimiento de las nubes puede entenderse como un problema de transporte óptimo: las nubes están hechas de partículas de agua que se desplazan a medida que ellas lo hacen”.

Las técnicas que se han desarrollado en el estudio del trasporte óptimo pueden ayudar a analizar la evolución de las nubes.

“¿Cómo hacer la conexión entre estas pequeñas partículas de agua que se mueven con estas nubes grandes? ¿Cómo deducir la presión, la velocidad con la que viajan? ¿Cómo conectas esta descripción microscópica con esta descripción macroscópica? ¿Cómo puedes trazar la ruta? Esa es una cuestión matemática”.

Y es que hay un principio básico: “la naturaleza quiere ser eficiente: gastar la mínima energía para hacer lo que tiene que hacer, y, por esa razón, el transporte óptimo y la naturaleza van bien juntos”.

Pero también le va bien en otros contextos. Pensemos en tecnología: en vez de partículas de agua, imagina pixeles, y en vez de nubes piensa en fotos.

En las computadoras

En el machine learning o aprendizaje automático, rama de la inteligencia artificial, se busca entrenar programas informáticos para que ejecuten tareas específicas. Una de ellas es reconocer imágenes.

Imagina que en tu computadora tienes una colección de fotos de animales -hay perros, gatos, elefantes, vacas- y te llega una nueva imagen de un animal que no sabes cuál es.

“Necesito comparar imágenes, ¿cómo puedo hacerlo? El transporte óptimo puede hacerlo por ti”, indica Figalli.

“Quiero transportar los pixeles, o lo que componga esa nueva foto, a otra imagen y ver cuánto cuesta ese proceso. Si es muy poco, es porque la imagen en cuestión es similar a la de referencia. Es muy probable que mi foto sea la de un perro porque es muy parecida a la que ya existe de un perro”.

“Pero si cuesta mucho el transporte, significa que la imagen era muy diferente a la imagen de un perro. Por lo tanto, debe representar algo distinto”.

“El metaprincipio es que el transporte óptimo es una muy buena manera de comparar imágenes, objetos, y una vez con eso, se puede usar para entrenar una red de inteligencia artificial”.

Y volvemos al punto de la belleza.

“¿La ves?”, me dice el profesor con una sonrisa.

“A la matemática no le importa si lo que transportas es un objeto concreto o abstracto, puede ser material de construcción, panes, gente yendo a trabajar, una imagen, un píxel. Es siempre un objeto del cual sacamos modelos, hacemos fórmulas, se vuelve abstracto y haces lo que quieras. Siempre tienes nuevas aplicaciones”.

En tu vida

Así, este problema cuya formulación se remonta al siglo XVIII está presente en nuestras vidas.

Piensa por un momento en cuando te mudas, me dice Matteo Bonforte, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas de España.

“Hay que mover cosas de una casa a otra y dispones de una furgoneta o un camión. ¿Cómo colocar tus pertenencias en la camioneta de una forma óptima, de modo que cueste lo menos posible: un menor número de viajes, un menor esfuerzo para las personas a cargo?”

Para Bonforte es clave seguir adentrándose en problemas como el transporte óptimo.

“Alessio Figalli es una de estas mentes maravillosas de las cuales hay una por generación”.

“Es muy importante que los matemáticos de primera fila como él, los top-top-top, se dediquen a estos problemas porque pueden ver cosas que ‘los mortales comunes no ven’, crean conexiones entre cosas que parecen muy diferentes, pero con las gafas oportunas, al final se observa que el mecanismo subyacente, el principio básico, es el mismo y los congrega”.

Destaca que Figalli ha podido resolver problemas que han estado abiertos desde muchos años, lo que hace que la teoría desarrollada se pueda aplicar a “problemas de la vida real”.

“Es fundamental que estas grandes figuras de las matemáticas se ocupen de estos problemas porque además le dan un impulso a toda la comunidad: muchos investigadores se ‘suben al carro’, el problema se pone ‘de moda’ y eso genera un avance del conocimiento espectacular, siempre por la razón de que somos animales sociales”.

Los prefijos que hemos usado para nombrar la información (kilobytes, megabytes, terabytes) ya no nos alcanzan para describir todo lo que existe – y que existirá – en la red.

Es por eso que la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM por sus siglas en inglés), durante su reunión número 27, definió los nuevos prefijos que se utilizarán dentro del Sistema Internacional de Unidades para expresar cantidades masivas, al igual que increíblemente diminutas.

Las nuevas medidas

Ronna, con el símbolo R, será el prefijo que se use para describir números en los que el primer dígito esté seguido por 27 ceros. Mientras que quetta o Q describirá los números en los que el primer dígito esté seguido por 30 ceros.

Potencia/ Prefijo/ Símbolo

10^27/ ronna /R

10^-27/ ronto / r

10^30/ quetta / Q

10^-30/ quecto / q

Hacia el otro lado del espectro, la CGPM definió que se usará el prefijo ronto, con el símbolo r, para hacer referencia a números en los que haya 27 ceros antes del punto decimal; y quecto o q, para aquellos en los que los ceros que anteceden al punto decimal son 30.

Entendiendo las nuevas medidas

Para hacerse una idea de las cifras que se podrán describir con estas nuevas terminaciones, el periódico Washington Post usó La Tierra como marco de referencia.

Nuestro planeta tiene un peso aproximado en gramos de 5.974.000.000.000.000.000.000.000.000.000, o 5.974×10^27.

Usando las terminaciones que tenemos actualmente en el sistema métrico, esa cifra la podemos expresar como 5.974×10^24 kilogramos, 5.974×1021 megagramos o, simplemente, 5.974 ronnagramos. Si estuviéramos midiendo un planeta con un peso de 8×10^30 gramos, podríamos referirnos a un planeta que pesa 8 quettagramos.

Si estuvieras midiendo algo tan diminuto que mida 3×10^-27 o 6×10^-30, algo como la muy débil radiación cósmica de fondo o de microondas que existe en el universo como remanente del Big Bang, podrías referirte a 3 rontómetros o 6 quectómetros.

Estos nuevos prefijos son los primeros que la conferencia añade desde que en 1991, se agregaran zetta (10^21), yotta (10^24), zepto (10^-21) y yocto (10^-24).

El crecimiento de la información

En la resolución de anuncio de los prefijos, la CGPM se refirió específicamente a las “necesidades de la ciencia de los datos en el futuro próximo para expresar cantidades de información digital” de una manera unificada.

Agregó también que los prefijos debían adoptarse pronto “para prevenir que se usen y adopten prefijos de facto en otras comunidades”.

Otra resolución que se adoptó en la CGPM da indicios de cuáles son los planes a futuro para lograr unificar todo tipo de medidas a nivel global. Particularmente, con la medición del tiempo.

La conferencia “impulsa al Comité de Pesos y Medidas (CIPM) a traer propuestas para la reunión número 28 de la CGPM (2026) para” definir cuánto equivale un segundo, “para que se adopte una nueva definición en la reunión 29 de la CGPM en 2030”.

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La serie busca proveer un material que sirva de  guía a docentes y padres sobre algunas temáticas que posiblemente sean difíciles de abordar y que constituyen la base fundamental del contenido clave para avanzar de grado.

Así surge la colección de láminas Faro matemático, que permite traer a la luz aquellos contenidos indispensables para practicar en la casa y en el centro educativo.

Prensa Libre publicará  cinco láminas organizadas de acuerdo a las subáreas del currículo matemático del nivel primario con un problema contextualizado, preguntas para pensar y definiciones para aprender.

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También se incluirán ejercicios y otros problemas de aplicación, un área para cálculo mental y un glosario. La colección tiene como tema generador los juegos tradicionales en Guatemala.

Búsquelas los miércoles de agosto en las páginas centrales de la edición impresa de Prensa Libre. Los temas a publicar son:

• 3 agosto: Estadística. Permite desarrollar competencias para la recolección de datos, organización y tabulación de información para comparar fenómenos, analizaros, interpretarlos y establecer proyecciones.
• 10 agosto: Sistemas numéricos: enteros. El aprendizaje de los números enteros es vital porque es la base del conteo, compra, venta y del conocimiento de positivo y negativo.
• 17 agosto: Sistemas numéricos: fracciones. Conocimiento sobre la división de la unidad, comparar partes iguales con la unidad y representarlas. Sumas y restas de fracciones y proporciones.
• 24 agosto: Geometría, sólidos. Desarrolla la percepción y pensamiento espacial (del espacio), medidas, discriminación de elementos básicos, se practica de manera constante en la vida cotidiana de todo adulto, el entorno está compuesto de relaciones y conceptos geométricos por eso es importante aprenderla.
• 31 agosto: Geometría, planos. Contribuye a resolver situaciones prácticas como medición de longitudes, áreas, volúmenes, trazos de linderos de la tierra y el seguimiento de mapas. La geometría ofrece la oportunidad de llegar a formas superiores del pensamiento porque se pueden manejar imágenes y relaciones geométricas mentalmente, desarrollar y practicar la capacidad de abstracción, así como hacer y validar conjeturas.

“Sus apuntes podrían haberse impreso y publicado”, le dijo a la esposa de Marcel Grossmann sobre la época en que eran compañeros de clase en Suiza.

“Cuando llegaba el momento de prepararme para mis exámenes, él siempre me prestaba aquellos cuadernos de apuntes, que eran mi salvación. Ni siquiera imagino lo que habría hecho sin aquellos libros“.

Esas palabras del genio de la física las reproduce Walter Isaacson en su extraordinaria biografía “Einstein, su vida y universo”.

El matemático también vería con admiración a su amigo: “Este Einstein un día será un gran hombre”, les dijo a sus padres.

A veces, después de clases, iban a una cafetería a conversar.

Se trató de una amistad que fue más allá de la vida estudiantil.

Isaacson describe a Grossmann como “el ángel guardián” de Einstein.

“Como estudiantes, nosotros, Albert Einstein y yo, a menudo analizábamos psicológicamente a conocidos comunes así como a nosotros mismos.

Durante una de esas conversaciones, una vez hizo la observación precisa: tu principal debilidad es que no puedes decir ‘no'”, escribió Grossmann.

En el Politécnico

Grossmann nació en Budapest en 1878. Su familia era de Suiza, a donde se fue, junto a sus padres, cuando tenía 15 años.

Asistió al Politécnico de Zúrich, hoy conocido como ETH, donde conoció a Einstein, que estudiaba para convertirse en maestro de física y matemáticas.

“Hay gente que dice que Einstein faltaba a clases. No estoy seguro de eso, tengo mis dudas, creo que Einstein era buen estudiante, asistía a las clases, pero sí sabemos que para prepararse para los exámenes, usó los apuntes de Grossmann“, le dice a BBC Mundo Tilman Sauer, profesor de Historia de las matemáticas y las ciencias naturales en la Universidad de Mainz, en Alemania.

Y es que las anotaciones de su compañero eran de lujo. Cuando volvía a casa, Grossmann pasaba sus anotaciones en limpio y las trabajaba meticulosamente.

“En sus exámenes parciales de octubre de 1898 (Einstein) había terminado el primero de su clase, con una media de 5,7 sobre un máximo de 6. El segundo, con un 5,6 era su amigo y encargado de tomar apuntes de matemáticas Marcel Grossmann”, cuenta Isaacson.

“Me conmovió”

Aunque ahora parezca increíble, Einstein tuvo dificultades para encontrar un empleo académico.

“De hecho, habrían de pasar nada menos que nueve años desde su graduación en el Politécnico de Zúrich, en 1900 -y cuatro años tras el milagroso año en el que no solo puso la física patas arriba, sino que logró finalmente que se le aceptara una tesis doctoral-, antes de que le ofrecieran un puesto como profesor universitario”, señala el autor.

En el otoño de 1900, tuvo unos ocho empleos esporádicos como maestro particular y envió varias cartas a profesores de universidades europeas para que fuese considerado para un puesto.

“Quería ser asistente de algún profesor”, señala Sauer, quien fue editor colaborador de los Collected Papers of Albert Einstein.

Cuando Einstein ya empezaba a desesperarse, “Grossmann le escribió diciéndole que era probable que hubiera una plaza de funcionario en la Oficina Suiza de Patentes, situada en Berna. El padre de Grossmann conocía al director y estaba dispuesto a recomendar a Einstein”, indica Isaacson.

“¡Querido Marcel! Cuando encontré tu carta ayer, me conmovió profundamente tu devoción y compasión que no te permitieron olvidar a tu viejo desafortunado amigo (…)”, le respondió en una misiva.

Einstein consiguió ese empleo en 1902 y fue allí, en la ahora famosa Oficina de Patentes, que en 1905, el genio desconocido de 26 años publicó su teoría de la relatividad especial.

Precisamente, en ese puesto escribió cinco estudios científicos que revolucionaron la física de inicios del siglo XX.

Ayudarlo a obtener ese empleo, sería descrito por Einstein como “lo más grande que Marcel Grossmann hizo por mí como amigo”.

De hecho, ese año, el físico le dedicó su tesis doctoral.

En 1909, conquistaría una plaza como profesor asociado en la Universidad de Zúrich y, en 1911, se iría como profesor a la Universidad de Praga.

Grossmann, el profesor

Desde el principio, Grossmann pisó fuerte en el mundo académico. Poco después de graduarse como docente especializado en matemáticas, consiguió una posición como asistente de un profesor en el mismo ETH.

Se convertiría en un experto en geometría no euclidiana y en geometría proyectiva y publicaría varios estudios sobre ese campo.

Su devoción como maestro y pedagogo lo caracterizaría a lo largo de su carrera, como lo cuenta el libro Marcel Grossmann: For the Love of Mathematics, que escribió su nieta Claudia Graf-Grossmann.

“Nunca se permite dar clases durante horas y horas sin asegurarse de que sus alumnos entiendan lo que intenta enseñarles, como hicieron sus profesores cuando estaba en la escuela secundaria en Budapest.

Por sus propias experiencias escolares, sabe que el placer de aprender y el éxito resultante son incomparablemente mayores cuando el material se enseña de una manera apasionante y fácilmente comprensible”.

En 1905, se mudó a Basilea, donde enseñó y publicó dos libros de textos sobre geometría, de los que aprenderían varias generaciones de estudiantes.

En 1907, fue nombrado profesor de geometría descriptiva en el ETH.

“Con Grossmann ahora en una posición importante en la facultad de ETH, no es de sorprender que hubiese estado envuelto en traer de regreso a Einstein a Zúrich”, escribió Sauer en el ensayo: Marcel Grossmann and his contribution to the general theory of relativity.

En 1912, Einstein fue nombrado profesor de Física teórica en esa institución.

Se reunió con Grossmann y le habló de sus ideas para generalizar su teoría de la relatividad especial.

Einstein le dijo: “Me tienes que ayudar o me volveré loco“.

La guía

En un artículo sobre el matemático, John Joseph O’Connor y Edmund Frederick Robertson, profesores de la Universidad de St. Andrews, cuentan que en 1912, Einstein luchaba por “extender su teoría de la relatividad especial para incluir la gravitación”.

Y encontró en su amigo una gran guía.

“La necesidad de ir más allá de la descripción euclidiana del espacio-tiempo fue primero articulada por Grossman, quien persuadió a Einstein de que ese era el lenguaje correcto para lo que se convertiría en la relatividad general”, le señaló a BBC Mundo, en 2020, David McMullan, profesor de Física Teórica de la Universidad Plymouth.

Grossmann le sugirió el trabajo del alemán Bernhard Riemann y el cálculo tensorial que desarrollaban los italianos Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita.

Él mismo era un experto en cálculo tensorial y sus explicaciones terminaron convenciendo a Einstein.

Y es que -recuerda Isaacson- en los dos cursos de geometría que tomaron en el ETH, Einstein sacó 4,25 de 6, mientras que Grossman obtuvo 6.

“Estoy trabajando exclusivamente en el problema de la gravitación y creo que puedo superar todas las dificultades con la ayuda de un amigo matemático aquí“, le escribió Einstein, en 1912, al físico teórico Arnold Sommerfeld.

“Pero una cosa es cierta: nunca antes en mi vida había trabajado tanto y he adquirido un respeto enorme por las matemáticas, cuyos aspectos más sutiles consideré hasta ahora, en mi ingenuidad, como un mero lujo.

“Comparado con este problema, la teoría original de la relatividad es un juego de niños”.

Las geometrías no euclidianas

“En la segunda mitad del siglo XIX, se empezaron a desarrollar las geometrías no euclidianas y el concepto de geometría de Riemann, y eso era lo que Einstein necesitaba para establecer la teoría generalizada”, le dice a BBC Mundo Manuel de León, profesor de Investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España y académico de la Real Academia de Ciencias de España.

Pero había un detalle: “no estaba familiarizado con ellas”.

“La labor de Grossmann fue fundamental para despejarle el camino a Einstein y explicarle todo eso que estaba naciendo en el ámbito de las matemáticas“.

A Einstein le urgía que sus ideas sobre física pudieran ser “materializadas con un modelo matemático y ese modelo lo daban las geometrías no euclidianas”.

Con ese término se denominan las geometrías, como la hiperbólica y la esférica, que difieren de la geometría de Euclides en el axioma, sobre la existencia de una paralela externa a una recta.

Es así como, cuando comenzó a elaborar su teoría de la relatividad general, Einstein se dio cuenta de que tenía que utilizar la geometría diferencial, que habían desarrollado a partir del siglo XIX grandes matemáticos como Gauss, Bolyai, Lobachevskai, Riemann, Ricci, Lévi-Civita, Christoffel, y muchos otros.

“La idea esencial de Einstein es: la masa crea curvatura a su alrededor, pero ¿cómo la crea? ¿Cuál es el modelo matemático que es capaz de expresar esa curvatura si tengo la masa? Para eso necesitaba la geometría diferencial”, indica el profesor.

“Lo maravilloso de Einstein es que fue capaz de poner todas esas cosas juntas y con su intuición física, encontrar la ecuación de campo”, señala.

Pero antes de llegar a eso, el genio trabajó arduamente.

Juntos

En 1913, los dos amigos publicaron un artículo en el que “unieron las matemáticas sofisticadas que Grossmann sabía y la física de Einstein”, indica Sauer.

Ese artículo es considerado un paso importante en el camino hacia la teoría general de la relatividad.

“Juntos trataron de darle sentido a las matemáticas en el contexto de lo que Einstein necesitaba para su teoría”.

Sin embargo, no lograron encontrar las ecuaciones correctas del campo gravitatorio.

En 1914, publicaron otro artículo conjunto. Pero ese mismo año, su colaboración terminó. Einstein había aceptado una plaza como profesor en Berlín.

Allí, siguió trabajando en el problema de la gravitación.

A finales de 1915, llegó a la formulación definitiva de su teoría, la publicó y revolucionó la historia de la ciencia y la forma en que entendemos el universo.

“Einstein enfatizó que su teoría general de la relatividad se construyó sobre el trabajo de Gauss y Riemann, gigantes del mundo matemático.

Pero también se construyó sobre el trabajo de figuras destacadas de la física, como Maxwell y Lorentz, y sobre el trabajo de investigadores menos conocidos, en particular Grossmann, Besso, Freundlich, Kottler, Nordström y Fokker”, escribieron Michel Janssen y Jürgen Renn en el artículo History: Einstein was no lone genius, de la revista Nature.

En su artículo Sauer, cuenta que meses después de publicar la teoría, Einstein escribió:

“Quiero reconocer con agradecimiento a mi amigo, el matemático Grossmann, cuya ayuda no sólo me ahorró el esfuerzo de estudiar la literatura matemática pertinente, sino que también me ayudó en mi búsqueda de las ecuaciones de gravitación de campo”.

“Toda la vida”

En los años 20, la salud de Grossmann se empezó a deteriorar debido a la esclerosis múltiple.

Murió en 1936, en Suiza.

En una carta para expresar sus condolencias, Einstein le escribió a la esposa de su amigo sus recuerdos:

“Él, un estudiante modelo, yo, desordenado y soñador“.

Elogió que su amigo siempre estuviera en buenos términos con los profesores y que lo entendiera todo fácilmente, mientras él era distante, no muy popular.

“Pero éramos buenos amigos y nuestras conversaciones delante de un café helado en el Metropole cada pocas semanas están entre mis recuerdos más felices“.

Cuando se graduaron, “me quedé solo de repente, enfrentando la vida sin poder hacer nada. Pero estuvo a mi lado y a través de él (y su padre) llegué a (Friedrich) Haller en la Oficina de Patentes unos años más tarde”.

Estar allí fue como una especie de “salvavidas, sin el cual no podría haber muerto, pero ciertamente me habría marchitado intelectualmente“.

Evocó “el trabajo científico conjunto y febril sobre el formalismo de la teoría general de la relatividad”.

“No se completó, ya que me mudé a Berlín, donde continué trabajando por mi cuenta”.

Y lamentó el impacto de la enfermedad en su amigo.

“Pero una cosa es hermosa. Fuimos amigos y seguimos siendo amigos toda la vida“.

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Hace dos años, Diana -nombre ficticio- se sometió a los pruebas básicas y específicas para comenzar la carrera de Profesorado de Enseñanza Media en Matemática y Física en el Centro Universitario de El Progreso (CUNProgreso), de la Universidad de San Carlos de Guatemala (Usac). Los resultados de sus evaluaciones fueron satisfactorios, sin embargo, no la inscribieron porque no se llegó al cupo mínimo de estudiantes para abrir el primer ciclo.

“Me dieron la opción de estudiar Pedagogía, pero decidí esperar hasta este año para inscribirme en la carrera que a mí me gusta, pero de nuevo no abrieron el primer semestre”, señala la joven, que pidió omitir su nombre. Para no perder otro año de estudios decidió ingresar a otra área.

Hay más estudiantes afectados, no solo de primer ingreso, también aquellos que tienen cursos atrasados del semestre inicial y que no pueden avanzar porque estas asignaturas son prerequisito para los siguientes años de la carrera. Tendrían que viajar a la sede central en la capital para continuar los estudios, pero, esto implica un gasto.

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“Es segundo año que pierdo, no es justo”, menciona otro estudiante que tiene pendientes dos cursos del primer semestre. La solución que el personal administrativo del CUNProgreso le dio fue: “Mejor busque otra carrera”.

Abrió 12 años atrás

El Profesorado en Matemática y Física fue la primera carrera que se habilitó en el Centro Universitario de El Progreso, en el 2010, y es la única sede en la región que forma profesores de enseñanza media en dichas ramas de la ciencia.

Sin embargo, desde hace dos años los estudiantes no han podido matricularse en el primer ciclo. Las autoridades del campus aducen que se requiere de un mínimo de 15 personas inscritas para abrir el semestre inicial de la carrera, y que no se ha llegado al cupo. Mientras que maestros y estudiantes mencionan que la cantidad de personas interesadas en inscribirse se ha rebasado, y que es la casa de estudios la que se niega a iniciar una nueva cohorte.

Una de las docentes que pidió omitir su nombre por temor a represalias, dice que la primera vez que no hubo inscripción para el primer semestre fue en el 2016, los argumentos fueron: había menos de 15 personas interesadas en el profesorado. “Llevamos tres cohortes que no sea abren, siempre nos dicen que es por falta de estudiantes”, agrega.

Este año previendo obtener la misma respuesta, los catedráticos se dieron a la tarea de dar acompañamiento a los jóvenes en el proceso de inscripción al profesorado, dieron charlas para captar a más estudiantes y realizaron otras actividades. La lista la integran 32 nombres.

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La docente refiere que al momento de matricularse a varios aspirantes no les aceptaron la papelería, tampoco avalaron traslados de otras carreras. Se intentó resolver el problema con las autoridades correspondientes, pero el tiempo transcurrió y se llegó la fecha límite para inscribirse, y el primer semestre del profesorado en Matemática y Física 2022 no se habilitó.

De acuerdo con Luis Ragüay, secretario Académico de CUNProgreso, para este ciclo académico únicamente se registraron seis aspirantes a la carrera y fueron los que realizaron las pruebas correspondientes de primer ingreso. “Como centro universitario estamos preocupados por esta situación”, dice.

Indica que en 2018 y 2021 no se contó con nuevas cohortes de primer ingreso, y que este año únicamente se habilitaron el quinto y séptimo semestres del profesorado.

“Hay un acta del Consejo Superior Universitario, que es la máxima autoridad de la Universidad San Carlos, la cual establece que si una cohorte no cuenta con 15 estudiantes no puedo abrirse”, refiere Ragüay.

El argumento parte de un documento con fecha febrero 1997, en ese informe dicho consejo estableció “no abrir inscripciones de primer ingreso para carreras nuevas en ningún Centro si no se tiene un mínimo de 15 estudiantes”, punto aprobado para los centros regionales universitarios a partir del siguiente año.

A criterio de la docente entrevistada esto no aplicaría para el Profesorado de Enseñanza Media en Matemática y Física, pues esta carrera fue autorizada en el 2010, y cuenta con presupuesto ordinario asignado para funcionar.

Otra catedrática argumenta que “en la Usac no existe una ley aplicable a carreras de reingreso que bloquee la apertura de una cohorte nueva con menos de 15 estudiantes, y al decir que no se llega al cupo se demuestra la falta de voluntad de las autoridades a permitir la continuidad en la profesionalización de los estudiantes”.

El temor, de los estudiantes y de los docentes, es que esta sea una excusa de las autoridades para el cierre de la carrera.

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Es una necesidad

La última prueba de graduandos realizadas por el Ministerio de Educación (Mineduc) a nivel nacional indica que el logro de los estudiantes en Matemáticas fue del 13.56 por ciento. En el caso de El Progreso la evaluación evidencia un retroceso en el resultado de los jóvenes, pues en el 2018 el logro alcanzado fue de 12.8 por ciento y al año siguiente disminuyó a 10.92 por ciento.

De acuerdo con docentes del CUNProgreso, el Profesorado de Enseñanza Media en Matemática y Física puede generar un impacto positivo en el desempeño de esta área científica en los estudiantes del Oriente del país, y verse reflejado en las pruebas de graduandos. También permite la especialización de docentes en dicha rama de estudio y que impactará en la calidad educativa.

La catedrática refiere que quienes imparten estos cursos en los centros educativos públicos y privados en la región no son especialistas en la materia, y la sede de la Usac en El Progreso es la única universidad que tiene la carrera para prepararlos.

El estudio de prefactibiliad desarrollado en el 2008 para aprobar la creación del CUNProgreso menciona el Profesorado de Enseñanza Media en Matemática y Física como una de las carreras que el centro ofrecería de acuerdo con las necesidades y a la demanda educativa del departamento. Se estableció un pensum de estudios de 42 cursos, en ocho semestres, y en plan fin de semana.

La entrevistada indica que unas seis cohortes de profesionales han egresado de la carrera en el CUNProgreso. Hay interés de los jóvenes por estudiar el profesorado, pero las “trabas” que ponen a los estudiantes de primer ingreso frena el que se abran nuevas.

El secretario Académico de CUNProgreso asegura que para atraer a más jóvenes a la carrera el año pasado se logró una quinta oportunidad para realizar las pruebas de ingreso al profesorado, pese a ello no se alcanzó el cupo.

“No está en nuestras manos, en el año se hacen cuatro evaluaciones de todas las pruebas básicas, vocacional y específica, ahora se dio una quinta oportunidad, y no ingresaron más estudiantes”, refiere.

Adicional a eso Ragüay dice que hicieron una campaña de información sobre la carrera en el departamento, así como clases propedéuticas.

Mientras que los estudiantes piden que se abra la carrera aún cuando no haya 15 personas inscritas. Una de las docentes recuerda que hubo un año en que había 11 jóvenes listos para matricularse, pero la carrera no se abrió, al final se quedaron sin estudiar porque faltaban cuatro personas para llenar el cupo.

Desde los primeros años de infancia, en todo niño se despierta la curiosidad.  Por naturaleza,  el infante desea descubrir por qué suceden las cosas.

Deja que tus hijos vivan la ciencia en lugar de contársela

En el primer año de vida, el bebé es capaz de dejar caer o lanzar objetos y observar su comportamiento, acción que repetirá muchas veces a esta edad. Estas acciones son antesala para entrar al descubrimiento del mundo que le rodea. La curiosidad es la característica fundamental que lo impulsará.

Todo niño es un científico en potencia. Entre los 2 y 4 años de edad inician los fuertes avances en el desarrollo del pensamiento, se presenta la etapa de los ¿Por qué?  El desarrollo cognitivo le exige el entendimiento de las causas de los fenómenos, hechos o situaciones que le rodean. El cerebro actúa enérgicamente y demuestra su inclinación natural hacia el aprendizaje.

Hasta los ocho años de edad, el niño contará con características cognitivas especiales que le inclinarán al aprendizaje de las ciencias, generando el interés por el descubrimiento o la comprobación.  A esa edad los chicos pueden aplicar el método científico sin necesidad de conocerlo: realizan observaciones, generan hipótesis y las comprueban al usar sus propios medios. Llegarán a conclusiones que compartirán como nuevos conocimientos.

Es importante crear un ambiente de estímulo para el desarrollo de esta etapa. En casa pueden reunirse en familia y recrearse con juegos de lógica, resolver acertijos, hacer experimentos, ver películas con temas científicos, leer algunas noticias de ciencia o utilizar páginas o aplicaciones respecto al tema. También es necesario realizar preguntas que estimulen la curiosidad, por ejemplo ¿por qué llueve?  Lo importante no es la respuesta, sino despertar en el chico el interés por entender los fenómenos que le rodean. Se aprende más con buenas preguntas que con buenas explicaciones. Enseñar a cuestionar sobre la naturaleza es enseñar a aprender sobre ciencia.

¿Por qué se aprende Matemática en el colegio?

La Matemática es el lenguaje universal de las ciencias. Aprender Matemática significa aprender un nuevo lenguaje. Aunque es una necesidad para desenvolverse en la sociedad, por su naturaleza, el aprendizaje progresivo y sistemático de esta ciencia, potencializa el desarrollo intelectual de los alumnos. La Matemática presenta escenarios particulares que requieren un esfuerzo cognitivo que enfrentan a cada estudiante a desafíos muchas veces abstractos, cuya solución requiere, un dominio adecuado de la teoría, del proceso y puesta en marcha de habilidades cognitivas, para procesar la información. Así como el cuerpo necesita de alimento para crecer, el cerebro requiere de material intelectual para desarrollarse.

En el Colegio Capouilliez, la Matemática ha tenido un papel  predominante a través de los años, por el impacto que esta tiene en el desarrollo intelectual de los alumnos. Esta clase no se limita a la enseñanza de contenidos o al dominio de los procesos, sino que presenta un modelo pedagógico centrado en el aprendizaje a través del desarrollo de las habilidades cognitivas. Una clase vista desde el que aprende significa entender desde el cerebro del estudiante.

En las clases de Matemática se diseñan actividades cuya intención es desarrollar las habilidades cognitivas, que incluyen la competencia de resolución de problemas. Con el avance de las investigaciones sobre neuroaprendizaje y el aparecimiento de nuevas tecnologías educativas, la innovación es el estándar que dirige el aprendizaje de la Matemática. La capacitación constante del personal docente,  hace más fácil que este proceso sea una realidad.

Uno de los programas más importantes, fruto del modelo pedagógico aplicado, es el Programa de Olimpiadas. En él participan todos los estudiantes que tienen deseos de aprender más sobre alguna ciencia específica. Se busca potencializar al máximo a cada alumno, a través de entrenamientos monitoreados por un tutor e investigaciones personales. Los alumnos se preparan para realizar evaluaciones de alto rigor científico. Todo estudiante que participa en el programa, logra altos niveles de autonomía y disciplina. Se ha observado cómo la metodología utilizada impacta grandemente la vida de los alumnos. Muchos participantes deciden estudiar ciencias puras en sus carreras universitarias e incluso algunos se convierten en tutores del programa.

El programa alcanza un alto nivel académico desarrollando competencias fundamentales, como la resolución de problemas. Uno de los objetivos más importantes en el entrenamiento de los estudiantes es la formación de la autonomía. Todos los participantes desde las primeras etapas del programa son impulsados a aprender por descubrimiento. Conforme aprenden nuevos contenidos, desarrollan y afinan habilidades que le servirán para enfrentarse a los retos académicos propios de cada asignatura en la cual compiten. Los tutores acompañan uno a uno a cada estudiante guiando y monitoreando su proceso; asignan actividades que propician la investigación personal y el trabajo en equipo.

Aunque todos los estudiantes compiten sanamente para lograr un puesto dentro de la selección oficial, el trabajo en equipo es crucial para alcanzar uno de ellos. Los alumnos aprenden que para obtener mayores y mejores aprendizajes necesitan unos de otros. Esta dinámica ha traído importantes beneficios en la competencia y en la vida social de los estudiantes; les ha ayudado a fortalecer valores de honestidad, integridad, productividad, organización, liderazgo y excelencia haciéndolos crecer como personas de bien.

En los últimos años, como resultado de la adopción de nuevas estrategias, el programa ha tenido un notable crecimiento y éxito. Tanto tutores como estudiantes han logrado importantes resultados.  En el año 2021, el Colegio obtuvo el 25% de todos los premios otorgados en las Olimpiadas Científicas a nivel nacional.   Ha sido el año en  que se alcanzó la mayor cantidad de premios hasta la fecha. En la categoría de Matemática se obtuvieron 1 medalla de oro, 2 medallas de plata, 2 medallas de bronce y 1 mención honorífica.  En otras asignaturas como Biología, Ciencias Naturales y Física, los alumnos obtuvieron 2 medallas de plata y 2 de bronce. El Colegio tiene  10 ganadores de un total de 40 premios otorgados a nivel nacional.

Considerando los beneficios extraordinarios que este programa ha traído a cada estudiante que participa, también se está implementando en el nivel de primaria. Niños desde los ocho años inician su preparación con la ilusión que en algunos años participarán en la Olimpiada Nacional de Ciencias.   Es importante empezar desde pequeños para captar su interés y desarrollar sus habilidades naturales con metodologías atractivas para su edad. Las  actividades deben ser innovadoras para mantener activo el interés a lo largo de los años.

El proceso de aprendizaje no puede encasillarse en una estructura rígida. La innovación y las nuevas investigaciones marcan el rumbo: el cambio es y deberá ser, una constante en educación.

La ambición es a veces vista con malos ojos y Arquímedes, el matemático griego del siglo III a.C., definitivamente fue culpable de ese pecado.

Pero la suya fue codicia de saber, la más loable.

Harto de que se dijera que cosas difíciles de contar -como la arena- eran infinitas, se impuso la tarea de hacerlo.

Así como lo oyes: se propuso contar todos los granos de arena que cabían en el Universo conocido.

Una joya

Nacido en Siracusa, Sicilia, Magna Grecia en el año 287 a.C., Arquímedes fue un genio obsesionado por las matemáticas.

Entre muchas cosas, fue a él a quien se le ocurrió un valor para π, uno de los componentes básicos de la ciencia, y su estimación se sigue utilizando hoy en día.

Y sí, fue él quién salió corriendo desnudo por las calles de Siracusa gritando “Eureka” tras solucionar una duda que tenía el rey Hieron II (c. 306-215 a.C.) mientras estaba en su tina, inventando de paso la hidrostática.

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Fue al sucesor de ese rey, Gelón II, al que le dirigió su ensayo “El contador de arena“, una obra considerada como una joya, no sólo por ser una de las primeras publicaciones científicas de la historia, sino porque…

• incluyó la única referencia existente a su propio padre, el astrónomo Fidias
• demostró que es posible expresar números muy grandes en algún tipo de notación
• presentó una forma de extender el sistema griego de numeración para nombrar grandes números
• estimó el tamaño del Universo como se conocía en ese momento
• contiene un relato de un ingenioso procedimiento que utilizó Arquímedes para determinar el diámetro aparente del Sol mediante la observación con un instrumento
• Crucialmente, da la descripción más detallada del sistema heliocéntrico de Aristarco de Samos (c. 310-230 a.C.), demostrando que este último estaba defendiendo el sistema copernicano dos milenios antes de Copérnico

Incontable no es infinito

“Existen algunos, Rey Gelón, que creen que el número de granos de arena es infinito en multitud“, empieza diciendo Arquímedes.

Es más, escribe, “hay algunos que, sin considerarlo como infinito, creen que ningún número ha sido nombrado que sea lo suficientemente grande como para superar tal magnitud“.

Con esto quieren decir, explica, que están convencidos de que cualquier número que pudiera expresar esa magnitud, sería superado por la cantidad de arena que habría.

“Pero voy a tratar de mostrar, por medio de demostraciones geométricas que usted será capaz de seguir que, de los números nombrados por mí, (…), algunos superan no sólo el número de la masa de arena de igual magnitud que la Tierra (…), sino también la de la masa de igual magnitud que la del Universo“.

Y eso es lo que hizo en unas 8 páginas.

Precisemos: Arquímedes no calculó la cantidad de granos de arena en el Universo, sino la cantidad de granos de arena que llenarían todo el espacio del Universo si estuviera lleno de arena.

En un mundo finito, no podía haber un número infinito de granos de arena. Había un tope… pero, ¿cuál era?

Miríadas de miríadas

En ese momento, el número más alto para el que los griegos tenían un nombre: 10⁴ = 10.000, a lo que llamaban μυριος (murious), que significaba incontable y era también una palabra para ‘infinito’ en la Antigua Grecia.

Los romanos convirtieron esa palabra en miríada y es así como la conocemos ahora.

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Para poder hacer ese cálculo tan inmenso, tuvo que inventar lo que ahora llamamos exponentes o potencias.

Partió de la miríada e introdujo una nueva clasificación de números.

Dijo que los números de ‘primer orden’ eran los que llegaban a una miríada de miríadas.

Es decir 10.000 x 10.000 = 100 millones o 100.000.000 o 10⁸.

Los de ‘segundo orden’ iban de ahí a 100 millones x 100 millones = 10⁸ x 10⁸, es decir (10⁸)².

El ‘tercer orden’ fueron los de hasta 10⁸ x 10⁸ x 10⁸ , es decir, (10⁸)³, y así.

Entonces, ¿qué orden de números se necesitaban entonces para calcular la cantidad de granos de arena que cabían en el Universo?

Según los cálculos de Arquímedes, se necesitaban números del octavo orden, es decir (10⁸)⁸ = 10⁶⁴, o sea…

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

¡Y quién le iba a discutir!

Lo otro que era indiscutible era que había creado una cifra tan grande que era altamente improbable que se fuera a necesitar una mayor para contar algo en el Universo que él imaginó.

¿Suficiente?

Mmm… no. A Arquímedes no parecían gustarle los límites.

Los historiadores contemporáneos cuentan que se ponía eufórico cuando descubría formas matemáticas cada vez más complejas, conocidas como sólidos arquimedianos, que van desde el tetraedro truncado -de 8 caras- hasta el dodecaedro romo -de 92 caras-.

Y en el caso de los números, no tenía porqué ser distinto. Al fin y al cabo, su campo de acción -a diferencia de los granos de arena- era infinito.

Así que no pudo resistir la tentación de seguir descubriendo enormidades.

Para lograrlo, pasó de “órdenes” de números a lo que llamó “períodos”.

El primero de esos períodos era (10⁸) elevado a la (10⁸) potencia. Es decir, 1 seguido por 800 millones de ceros.

En este caso, no te lo puedo mostrar: Doug Stewart, de la Organización Científicos Famosos, calcula que si se escribiera, el número ocuparía 380.000 páginas de un libro.

No contento con esto, Arquímedes siguió hasta (10⁸) elevado a la (10⁸) elevado a la (10⁸), un número que llamó “una miríada-miríada de unidades del orden miríada-miríada del período miríada-miríada”.

Si su número para expresar el tope de los granos de arena que podían existir en el universo conocido en su época -10⁶⁴- ya era demasiado grande para contar lo que en ese entonces se contaba, aún no hay nada que podamos contar en nuestro universo conocido hoy en día que se acerque a la enormidad de ese número que nos dejó.

Pero, para dejarte con una idea de su magnitud, quizás sea más claro si te digo que es 1 seguido de 80 cuatrillones de ceros… ¿una medida de la genialidad de la mente de su creador?

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Vivimos rodeados de situaciones aleatorias, aunque muchos no seamos conscientes de ello. ¡Cuántas veces habremos cogido dos pantalones de la misma talla para ver si alguno de los dos nos queda un poquito mejor! ¡O cuántas otras habremos mirado de reojo el contenido de la botella de vino para llevarnos la más llena! Quizás no, y solo seamos los estadísticos los que lo hacemos sabiendo que no habrá dos botellas en la estantería que tengan exactamente el mismo contenido de vino, ni dos pantalones de la misma talla iguales sin que esto, en la mayoría de situaciones, se convierta en motivo de reclamación.

La estadística matemática es la ciencia que ordena y resume la información contenida en un conjunto de datos para hacerla más interpretable. Pero, sobre todo, es la ciencia que analiza la variabilidad de los fenómenos que son aleatorios. Esto es, de aquellos fenómenos que repetidos prácticamente en las mismas condiciones, pueden darte distintos resultados. Estos fenómenos pueden ser observados a través de la recogida de grandes series de datos y la estadística proporciona técnicas y herramientas para aprender a analizarlos e interpretarlos. Nos ofrece apoyo científico para la toma de decisiones en entornos de variabilidad. Algo muy propio del momento actual.

Una ciencia fundamental durante la pandemia

Normalmente la profesionalidad de un experto se pone en evidencia cuando éste debe resolver problemas complejos. La pandemia del covid-19 ha demostrado que una situación tan difícil como la que vivimos no se soluciona solo con un excelente equipo médico, con los mejores economistas, sociólogos o los dirigentes políticos del momento.

Los datos que se registran son a día de hoy la única materia prima disponible para conocer la evolución de la pandemia, así como para estudiar el efecto que tendrán las actuaciones políticas o médicas en su desarrollo. Las herramientas para el correcto manejo y análisis de estos datos, junto con el conocimiento médico, son las únicas que en este momento nos pueden proporcionar luz sobre su evolución real. El estadístico es un perfil imprescindible en un equipo multidisciplinar que analiza la evolución del covid-19 en la población.

¿Se está escuchando suficientemente su voz? El estadístico es el o la profesional que ayuda a diseñar el plan para la recogida de datos y colabora en la identificación de las medidas y métricas con las que se evalúa la evolución del virus. Estas métricas son elegidas para responder a las grandes preguntas que llevan meses ocupando nuestras conversaciones. Me refiero a saber si se ha llegado o no a la cima, o a afirmaciones en cuanto a si estamos o no en una fase de aumento, descenso o estabilidad de la pandemia.

Es también el estadístico el que encuentra la mejor manera de visualizar los datos, analizarlos, mostrarlos y comunicar sus resultados. O el que colabora en la modelización del comportamiento de la evolución del virus para que se pueda hacer una predicción fiable y con suficiente antelación del número de nuevos casos positivos. Una tarea, por cierto, nada sencilla en esta pandemia debido a las características propias del virus, al impredecible comportamiento de la población y a la calidad de los datos, entre otras muchas incertidumbres que rodean a este caso.

Si bien este es un ejemplo concreto de la labor de un estadístico, no es el único. Es un día mundial para recordar que son profesionales que se manejan bien en entornos de variabilidad, donde saben discernir el grano –-la información– de la paja –el ruido–. Aportan valor para una mejor toma de decisiones fundadas y basadas en la realidad de los datos, y no solo en la prisa y el pálpito como con frecuencia hacemos en tantas situaciones de nuestra vida.

Pocas ramas de la ciencia tienen hoy en día un campo de aplicación tan heterogéneo y en consecuencia un grupo de expertos tan variopinto. Sin embargo, no hemos de olvidarnos del origen de esta ciencia para comprender que la interpretación del estudio y análisis de las situaciones aleatorias no es cuestión baladí.

Echo de menos en esta pandemia oír la voz y la interpretación que los estadísticos hacen de los datos que están analizando. Una voz objetiva que nos interprete desde la ciencia de los datos lo que está ocurriendo y dé soporte científico a las decisiones que se están tomando. Quizás eso ayude a recuperar parte de la confianza que perdemos cuando sentimos que algunos nos hablan desde la subjetividad y el oportunismo.

*Elisabeth Viles Díez, Catedrática. Subdirectora del Instituto de Ciencia de Datos e Inteligencia Artificial. Tecnun, Universidad de Navarra

Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation. Lea el original.

Guillermo Ramírez es físico y matemático, y como suele pasar con los científicos, acumula varios títulos desde licenciatura hasta doctorado.

Pero lo que resulta normal entre investigadores, suena muy extraño para aquellos que no lo son.

“La tendencia es que la gente se sorprende como si fuera un animal raro o alguien muy singular, con una vida muy diferente a ellos. Pues no es cierto”, le cuenta Ramírez a BBC Mundo.

“No hay que ser alguien muy especial o muy inteligente para dedicarse a las matemáticas o la física. Son habilidades o capacidades que se desarrollan, como cuando uno juega un deporte”, asegura.

Esa idea socialmente establecida de que la física y matemáticas son para “una élite con habilidades especiales”, explica el mexicano, es algo que genera problemas prácticos en el día a día, pero que también inhibe posibles carreras en dos áreas laborales muy requeridas en tiempos de la cuarta revolución industrial.

Estos son algunos de los temas que abordará el profesor investigador del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) en la charla “Matemáticas virales”, que dará en el Hay Festival Querétaro el sábado 5 de septiembre a las 10 de la mañana de México.

Ni abstracto ni lejano

Ramírez se especializa en un área de la física llamada teoría en materia condensada, “un campo muy amplio que estudia las propiedades de la materia en su fase sólida, líquida y gaseosa, tanto a nivel macroscópico como microscópico”, explica.

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En la última década comenzó a aplicar sus conocimientos en materia condensada y matemáticas para estudiar la evolución de los tumores malignos, particularmente, cómo el microambiente y el metabolismo influyen en la aparición del cáncer de mama.

Este es apenas un ejemplo de cómo un campo que puede sonar teórico y lejano, tiene profundas implicanciones en la vida de las personas.

Incluso las matemáticas, que según Ramírez son generalmente enseñadas y por ende percibidas como abstractas y aburridas, “nacieron para resolver problemas reales”.

Quizás el ejemplo más fácil sea el del origen de la aritmética y la necesidad de un granjero de contar sus cabras y luego intercambiar algunas de ellas por otros productos, como manzanas.

Pero incluso aquellas áreas que parecen desconectadas de la realidad cotidiana pueden terminar transformándola de forma radical.

Tal es el caso de la física o mecánica cuántica, dice, una rama que estudia la naturaleza a escala atómica y subatómica, o sea, el mundo de lo ultrapequeño y sus leyes, que son muy distintas a aquellas que gobiernan al mundo que podemos ver.

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“El desarrollo de la mecánica cuántica a inicios del siglo pasado dio lugar al estudio del estado sólido de la materia, que derivó en el invento del transistor, de los microprocesadores, de los microchips, de la computadora, del internet”, explica el investigador.

https://www.youtube.com/watch?v=8urGTdEioOQ&t

“Sin la mecánica cuántica”, continúa, “no viviríamos de la forma en que vivimos. No tendríamos teléfonos celulares ni estaríamos hablando en esta entrevista (por videollamada) que, a principios de los 1960, hubiese parecido un cuento de ciencia ficción”.

Y agrega: “En esta pandemia, si no existiera la cuarta revolución industrial, estaríamos como en la Edad Media durante la peste negra“.

La revolución 4.0

La llamada cuarta revolución industrial o 4.0 no implica la llegada de nuevos desarrollos en sí mismos, sino de la convergencia entre tecnologías digitales, físicas y biológicas, según el Foro Económico Mundial, que tiene un centro dedicado al tema.

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Este es un cambio importante respecto a las tres revoluciones industriales anteriores.

En la primera, que ocurrió entre mediados de los siglos XVIII y XIX, se pasó de la producción manual a la mecanizada.

“Fue impulsada por la creación del motor a vapor y, con ello, de máquinas e implementos que facilitaron la la producción de ciertos insumos”, dice.

La segunda revolución industrial “ocurrió cuando esa producción de bienes pasó a realizarse en masa en fábricas“, continúa. Aquí fue clave el uso de la electricidad.

La tercera empieza recién a mediados del siglo XX, marcada por el desarrollo de las tecnologías de la información y comunicaciones, de la electrónica y el inicio de la automatización de algunos aspectos de la producción industrial.

“En la cuarta revolución industrial, en cambio, la tendencia es a automatizar todo en las líneas de producción“, explica Ramírez. Es lograr la independencia de la mano de obra humana.

Para eso, se hacen fundamentales conceptos como el del internet de las cosas, la computación en la nube y la inteligencia artificial.

En otras palabras, áreas que requieren de formación en matemática, física e ingeniería, dice Ramírez.

Pero el investigador no solo habla de los cambios en las fábricas, donde una línea de producción se maneja a la distancia.

También destaca los avances en la telemedicina o incluso habla de practicar cirugías remotas mediante robots controlados por un médico ubicado a miles de kilómetros del quirófano.

A su vez, las cuarentenas aplicadas a lo largo del mundo debido a la pandemia de covid-19 han acelerado esta revolución, asegura, pues naturalizaron el trabajo a la distancia en una enorme diversidad de áreas.

Las carreras de ahora

“Uno de los grandes problemas de esta revolución y de las previas es que la gente que no tenga la suficiente preparación, se va a quedar atrás y va a terminar subempleada o desempleada“, afirma Ramírez.

“Muchos gobiernos populistas han llegado al poder prometiendo regresar las fábricas a sus países. Y aunque eso existe todavía un poco, la tendencia es a que todo se automatice”, continúa.

Por eso, “la gente va a necesitar prepararse para dejar de trabajar con las manos y pasar a hacerlo con internet”.

De ahí que Ramírez enfatice que la física y las matemáticas no son abstractas, aburridas o para mentes brillantes. Son todo lo que nos rodea.

Este artículo es parte del Hay Festival Querétaro, un encuentro de escritores y pensadores que en esta oportunidad, debido a la pandemia de covid-19, se realiza solo de forma digital entre el 2 y el 7 de septiembre de 2020.

• Sigue la cobertura del Hay Festival Querétaro en BBC Mundo

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Todos hemos visto volar a un dron, ese artefacto liviano con cuatro hélices y motores eléctricos que puede movilizarse en el aire con una destreza y habilidad increíbles.

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Sin estudiantes de postgrado no hay tecnología

¿Cómo es posible que estas máquinas puedan hacer tales maniobras? Hace unos días veía una charla TED de Raffaello D’Andrea, doctor en ingeniería y sistemas de control, titulada The astounding athletic power of quadcopters, que podríamos traducir como El asombroso poder atlético de los drones. En su presentación hace demostraciones sorprendentes del poder de maniobra, control y equilibro que puede tener un dron. Durante toda su charla repite en varias ocasiones cuál es el secreto de tan asombrosas piruetas: matemática, física, programación y algoritmos.

Los drones son solo uno de tantos ejemplos que personifican el poder de las ciencias puras. Por una parte es gratificante poder ser testigos de una época en la civilización humana en donde tenemos el conocimiento y la técnica necesaria para crear máquinas como los drones.

Por otra lado, no podemos cerrar los ojos a toda una serie de factores que vienen con la invención de una tecnología de este tipo. Me refiero a cuestionamientos como: ¿quién los construye? ¿quién los diseña? ¿quién escribe los algoritmos de control? ¿quién los comercializa? ¿a dónde van las ganancias? Todas estas preguntas no tienen mucho que ver con la tecnología per se, sino que responden a la actividad económica generada por una aplicación novedosa del conocimiento científico.

Los drones son también una instancia más que nos muestra que la ciencia y la tecnología producen dinero. La industria de los drones es un negocio a nivel mundial, se venden y se utilizan en todos los países. Sin embargo es una industria que requiere de conocimientos especializados en matemáticas, programación, ecuaciones diferenciales, algoritmos y teoría de control.

Estos conocimientos se enseñan y se aprenden en muchas universidades. Pero no todas logran crear cosas como un dron. Las que lo hacen son aquellas en donde sus profesores dedican parte de su tiempo a la investigación, a experimentar, a colaborar con sus estudiantes, a implementar ideas soñadoras. Muchas ideas quizá no funcionen, pero las que lo hacen tienen consecuencias profundas. No solo cambian la vida de quienes las inventan sino que tienen influencia en toda la sociedad.

La tecnología y la ciencia van de la mano, pero para que puedan caminar juntas se necesita crear el andamiaje que las sustenta. Guatemala está muy rezagada en ese camino. La presentes y futuras generaciones de ingenieros y científicos tienen la tarea de visibilizar la tecnología como motor de desarrollo y fuente de riqueza.

Tal era la habilidad de Shakuntala Devi para hacer cálculos mentales en cuestión de segundos que, quienes la conocían, solían describirla como una “computadora humana”.

Su talento con los números le valió un lugar en el Récord Guinness y la transformó en una celebridad que recorrió el mundo demostrando sus proezas matemáticas en universidades, teatros, estudios de radio y televisión.

La vida de esta mujer india, que falleció en 2013 a los 83 años, fue retratada en una película que lleva su nombre por título y que fue estrenada recientemente en la plataforma Amazon Prime.

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Vidya Balan, la actriz de Bollywood que interpreta a la genia de los números, la describió como una “niña de un pequeño pueblo indio que tomó al mundo por sorpresa”.

“No tuvo una educación formal, pero podía hacer los cálculos más complejos en su mente a una velocidad asombrosa. Era más rápida que una computadora”, dice Balan a la BBC.

Para preparar su papel, la actriz estudió, entre otras cosas, un video de la cadena de televisión canadiense ATN en el que se ve a Devi preguntándole a un panel si quieren que les dé su respuesta empezando de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda.

Segundos antes, un miembro del panel le había pedido que multiplicase dos números de ocho dígitos. Devi les dio la respuesta casi inmediatamente. El video ha sido visto más de medio millón de veces desde que fue subido a internet, en 2013.

Regalo divino

En entrevistas Devi contó que hacía cálculos matemáticos en su cabeza “desde que tenía 3 años“. Su padre, un artista de circo, descubrió dicha habilidad cuando jugaban a las cartas y vio que la pequeña le ganaba porque podía memorizar las suyas.

“Es un don de Dios, un regalo divino”, solía decir cuando le pedían que explicara este talento extraordinario.

Según dijo, nadie en su familia tenía capacidades particulares para los números. “Ni siquiera remotamente, aunque mi padre era mago”, dijo.

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A los 6 años, cuando ya era considerada una niña prodigio, mostró sus habilidades por primera en un evento público en la ciudad de Mysore, Karnataka, el estado indio en el que nació.

Devi además se enseñó a sí misma a leer y a escribir.

Velocidad pasmosa

En 1950, cuando participó en un programa de televisión de la BBC, dio una respuesta a un problema que no era la misma que la de su anfitrión. Esto se debía a una falla en la pregunta, señaló Devi.

Cuando los expertos reexaminaron los números, le dieron la razón.

En 1977 en Dallas, EE.UU., Devi le ganó la partida a Univac, una de las supercomputadoras más rápidas que jamás se haya construido.

Y la entrada al famoso libro del Guinness, la obtuvo multiplicando dos números de 13 dígitos elegidos al azar por una computadora frente a una audiencia de 1.000 personas en el Imperial College de Londres.

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El cálculo le tomó 28 segundos, incluido el tiempo que le llevó recitar el resultado de 26 dígitos.

Múltiples intereses

Además de ser una genia de las matemáticas, Devi desarrolló una carrera alternativa como astróloga.

Escribió libros de astrología, cocina, matemática y crimen. También uno en el que abogaba por la despenalización de la homosexualidad, que en la década de 1970 era un gran problema no solo en India, sino en la mayor parte del mundo.

“Ella era tantas cosas. Vivía la vida bajo sus propios términos. No tenía miedo, no se disculpaba. ¡Y pensar que eso era hace 50 años!”, dice Balan.

La actriz preparó su papel viendo videos y leyendo artículos sobre Devi, así como trambién escuchando las historias de Anupama Banerji, la única hija de esta y que vive junto a su familia en Londres.

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“Todo esto me dio una idea sobre su vida. Lo que verdaderamente me fascinó es que uno no asociaría normalmente a una persona divertida con las matemáticas y ella te cambia esta idea por completo”, cuenta.

“Ella jugaba con los números, puedes ver una suerte de alegría en ella cuando hacía cálculos matemáticas (…). Le encantaba actuar”.

En un estudio de 19990, Arthur R. Jensen, investigador de inteligencia humana de la Universidad de California, en EE.UU. la describió como una persona “alerta, extrovertida, afable y elocuente“.

No obstante, sentía una “profunda infelicidad”, dice el periodista y realizador de cine Pritish Nandy.

“Algo de ello era por razones personales, pero lo más importante era que tenía una habilidad y no podía monetizarla“, le dijo a la BBC.

En varias entrevistas Devi había contado cómo, por ser una niña prodigio, había estado frecuentemente bajo presión para ganar dinero, como único sostén de su familia.

Y, más tarde en su vida, su infelicidad estuvo asociada a su matrimonio con un hombre gay que no había salido del clóset.

• “Soy doctora en matemáticas y no sé dividir con tres cifras ni sé calcular a mano una raíz cuadrada”

Balan espera que la película sea una forma de entretenimiento en momentos en que la gran mayoría está en la casa por la pandemia de coronavirus.

Pero también espera que “traiga un cambio en la forma en que enseñamos matemáticas, que se haga más interesante, y que quite el miedo que la gente tiene a esta materia e inspire a más personas a estudiarla”.

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El curso busca promover que las niñas experimenten que es posible crear y aprender haciendo y que de esa manera puedan continuar estudios universitarios en el campo de la ingeniería y así contribuir a mejorar su calidad de vida e impactar de manera positiva a Guatemala y la región, afirman los organizadores del Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad del Valle de Guatemala (UVG), con el apoyo de la Embajada de los Estados Unidos en Guatemala.

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“El curso tiene un enfoque introductorio, es para chicas de secundaria y el objetivo principal es motivarlas y visibilizar la labor de las mujeres en ingeniería, pues comúnmente no existen estos modelos o nos parecen muy distantes”, explica la ingeniera Mayarí Pérez, coordinadora de Makerspaces de UVG.

En el curso se utiliza el aprendizaje activo y tiene sesiones virtuales y retos para realizar en casa, afirma Pérez. Se abordarán temas como: fabricación, energía, mecanismos y sostenibilidad. De manera que puedan compartir contenido teórico y la experiencia profesional para luego trabajar en un reto en casa, los cuales son similares a un experimento.

Mabel Andrea Colindres Hurtado, de 18 años, comenta sobre su experiencia, ella tomó el curso el año pasado. Al preguntarle qué le gustó más, responde: “¡Todo me gustó demasiado!”. Sobre las principales enseñanzas que le dejó el curso dice: “Aprendí a usar los principios básicos del programa ThinkerCad” y cuenta que uno de los proyectos que más le gustó fue elaborar un carrito para el cual hicieron la base con conexiones electrónicas para que se moviera y siguiera un camino marcado en el suelo.

El curso se llevará a cabo los martes y jueves del 1 al 24 de septiembre de 2020, de 16 a 17 horas. Los requisitos para ser candidata a una beca consisten en: ser mujer, tener de 12 a 18 años años y muchas ganas de aprender. Ya está abierta la recepción de postulaciones y para aplicar, se debe llenar el formulario en: bit.ly/MujeresIngenieríaUVG a más tardar el 16 de agosto.

Entre todas las aplicaciones recibidas, los organizadores seleccionarán a 300 jovencitas que recibirán una beca para poder participar, la cual incluye un kit que se enviará a domicilio con todos los materiales necesarios para los retos que desarrollarán en el curso.

Este es el tercer año consecutivo que se llevará a cabo el curso, en el que han participado más de 100 jóvenes de todos departamentos del país. Este es un programa enfocado en mujeres e impartido por mujeres ingenieras.

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Este material busca facilitar la labor de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en las aulas, pero también puede ser aplicado en el hogar, pues su metodología orienta al estudiante hasta encontrar la solución a la situación planteada. Fue elaborado con el fin de hacer realidad el proyecto educativo guatemalteco (Currículum Nacional Base) que facilita el desarrollo integral de la persona, los pueblos y la nación en general.

Metodología de Guatemática

En  2003, un equipo de voluntarios japoneses especialistas en educación matemática realizó un diagnóstico para sugerir estrategias de mejora de los aprendizajes de la Matemática. Así surgió   esta metodología de enseñanza y aprendizaje a la que se le  denominó Guatemática, que tiene por objetivo desarrollar las clases de manera ordenada con un material escrito.

Los textos,  elaborados por especialistas del MINEDUC y JICA, fueron  creados de manera progresiva y, como han producido tan buenos resultados, ya se cuenta con material para toda primaria y el ciclo básico. Existe evidencia que la implementación correcta de este material mejora los aprendizajes de los estudiantes.

Esta metodología se basa en la tendencia actual de la enseñanza  que se enfoca en la resolución de problemas, propuesta por George Polya, la cual consiste en: comprender el problema, elaborar un plan, ejecutar el plan y examinar el resultado.

Este enfoque desarrolla habilidades matemáticas tales como: razonamiento lógico, comunicación modelización, cálculo y otras.

Los pasos que sigue la metodología de Guatemática son:

• Problema inicial: presenta la situación en la que se aplicarán los aprendizajes adquiridos.
• Búsqueda de solución individual y colectiva: todos los estudiantes tendrán la oportunidad de pensar en resolver la situación.
• Presentación y verificación de la solución: paso a paso se presenta la solución del problema. En la mayor parte de los casos se muestran varias formas de resolución.
• Ejercicio: a través de la práctica se refuerza el aprendizaje desarrollado.

Ventajas de usar la metodología de Guatemática

• Establece un orden de los aprendizajes por la secuencia y gradualidad de los contenidos.
• Promueve la diversidad de pensamiento porque guía al estudiante a buscar otras maneras creativas para resolver los problemas.
• Fomenta un aprendizaje comprensivo de los conceptos matemáticos para que puedan ser aplicados y permitan crear nuevos conocimientos. El estudiante puede explicar los procesos con sus propias palabras, los relaciona entre sí y construye nuevos aprendizajes. Esto le permitirá recordarlo de manera lógica y evitará que lo olvide.
• Los estudiantes desarrollan habilidades matemáticas, como: comunicación de ideas, cálculos, resolución de problemas, modelización, interpretación de la información y otros.

Calendario de publicaciones de las hojas de trabajo de Guatemática

Se publicarán los días martes, miércoles y viernes a partir del 11 de febrero, de la siguiente forma:

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Incluso con un telescopio de los buenos, ubicado a ‎4.300.000.000 kilómetros de distancia, Neptuno, el 8º planeta de nuestro Sistema Solar a duras penas se ve como un pequeño puntito blanco.

Es por eso que los planetas que están más cerca de la Tierra, como Venus o Saturno, brillan tanto en el cielo nocturno que nos han maravillado desde la antigüedad.

En contraste, de la existencia de Neptuno nos vinimos a enterar apenas en el siglo XIX.

Pero el hallazgo fue doblemente significativo.

No solo encontramos otro vecino, sino que “Neptuno marcó la exploración del Sistema Solar, pues no fue hallado mirando al cielo con nuestros ojos ni con la ayuda de un telescopio; fue encontrado gracias a las matemáticas“, señala la astrofísica Lucie Green.

Urano y Neptuno

En el siglo XIX, las leyes de gravedad de Newton se entendían bien y con ellas se podían predecir las órbitas de los planetas alrededor del Sol… excepto, la de Urano, que se desvía ligeramente del camino previsto.

En ese momento, Urano era el planeta conocido más alejado del Sol y hubo quienes especularon que quizás las leyes de gravedad de Newton no funcionaban a una distancia tan grande.

Pero otros confiaron en las matemáticas, lo que los llevó a pensar que tenía que haber otro objeto masivo que, con su fuerza de gravedad, estuviera alterando la ruta de Urano alrededor del Sol.

Calcularon qué, cómo y dónde, “y cuando giraron el telescopio hacia el área que las matemáticas indicaron, se encontró el planeta”, cuenta Green.

El descubrimiento de Neptuno ha pasado a la historia como un testimonio de que las matemáticas no las inventamos, sino que existen.

Y eso es precisamente algo que intrigaba al oyente del programa de la BBC CrowdScience, Sergio Huarcaya, de Perú. Así que envió su pregunta: “¿Cuál es la relación de las matemáticas con la realidad?“.

Sí, este es un artículo para leer con calma y al menos una taza de café (o dos), así que acomódate y deja que tu mente se entretenga.

“Mi pregunta tiene que ver con el poder de predicción de las matemáticas”, aclaró Sergio.

• Haz clic si quieres escuchar BBC CrowdScience

“Desde Galileo, quien pudo predecir la velocidad de una bola rodando por una pendiente, hasta, por ejemplo, la existencia del bosón de Higgs, que fue predicha con matemáticas antes de encontrar la partícula en la realidad, ese poder de predecir la existencia de cosas que no han sido vistas me parece asombroso“.

Eso lo llevó a la pregunta.

“¿Son las matemáticas un modelo, una descripción, una metáfora de la realidad… o son la realidad misma?”.

Sergio no está solo. Los filósofos han reflexionado sobre estas ideas durante miles de años. Y la pregunta sigue siendo motivo de profundos desacuerdos.

Así que no te garantizamos respuestas definitivas, pero sí una interesante búsqueda.

No existe un pastel negativo

Es casi seguro que los humanos comenzamos a jugar con las matemáticas por razones mundanas, como contar y medir cosas, así que empecemos por ahí.

Y acompañemos tu café con un pastel.

Las matemáticas nos pueden decir toda clase de cosas sobre ese pastel: sus dimensiones, su peso, cómo dividirlo… todo muy tangible.

Y el pastel nos puede mostrar que las matemáticas pueden ir a donde la realidad no llega.

Si te comes ¹/₃ del pastel, te quedan ²/₃. Hasta ahí todo bien y sencillo. Y si sigues comiendo otro tercio y otro más, te quedas sin nada.

“Estamos describiendo las contorciones mentales de los antiguos”, señala Alex Bellos, autor de libros matemáticos. “Usaban matemáticas prácticas, para medir y contar, y no llegaron a los números negativos“.

Si tu concepto de la realidad consiste en objetos que puedes medir o contar, es difícil imaginar algo que sea menos de 0. Apenas te comas las moronas del pastel, se acabó: no existe un pastel negativo.

Sin embargo, dice Bellos, “hay un ámbito en el que sí usas números negativos y es completamente natural pensar en ellos”.

Bellos se refiere al dinero: “Puedes tener dinero pero también puedes deber dinero”.

“El primer uso práctico de los números negativos fue en el contexto de cuentas y deudas”.

Si tú debes US$5 y yo te doy esa cantidad, tendrás US$0. Esa es una realidad que empieza con números negativos.

Hoy en día, es difícil pensar en las matemáticas sin ellos y no solo en términos de deudas.

Hasta aquí, seguimos arraigados a la realidad.

Pero hay cosas extrañas que suceden cuando juegas con los números negativos.

Tremendo enigma

Si multiplicas dos de ellos, el resultado es un número positivo. Así que -1 x -1 = 1, y eso trae consigo un verdadero enigma.

“Si empiezas a jugar con ecuaciones que tienen tanto números negativos como positivos, llegarás a que:

“¿Qué diablos es eso? ¡Cómo vas a encontrar algo que cuando lo eleves al cuadrado sea igual a -1!”, exclama Bellos.

“No puede ser un número positivo, porque cuando los elevas al cuadrado -o los multiplicas por ellos mismos- el resultado es un número positivo; ni puede ser un número negativo, por la misma razón”, dice.

“Cuando se llegó a eso por primera vez, la gente pensó que era absurdo”.

“Pero, poco a poco, los matemáticos dijeron: ‘Sí, es absurdo, pero cuando lo uso en mi trabajo, obtengo la respuesta correcta. Dejémosle a los filósofos el problema de qué puede ser. Nosotros, los matemáticos necesitamos respuestas y, si nos ayuda a encontrarlas, está bien'”, explica.

Y acabamos de dejar la realidad. Pero, en todo caso, las matemáticas siguen sirviendo para explicarla.

Lo imaginario

“La raíz cuadrada de -1 se llama ‘número imaginario’, que es un nombre terrible pues te da la impresión de que las matemáticas eran reales y de repente se fueron a lo imaginario”, dice Bellos.

“No, las matemáticas son imaginarias desde el principio. Podemos hablar de tres pasteles, pero lo que estamos viendo son pasteles, no estamos viendo ‘tres’: el tres mismo es una abstracción“, subraya.

“Es lo mismo que cuando tienes números imaginarios. Parece totalmente loco, pero una vez empiezas a entender cómo encajan, es tan lógico, y el comportamiento de los que llamamos ‘números reales‘ con los que llamamos ‘números imaginarios‘ juntos, a los que llamamos ‘números complejos‘, es un lenguaje brillante para describir cosas como las rotaciones.

“Hoy en día, la raíz cuadrada de -1 es tan real como el -1”, aunque nos parezca tan difícil de entender como le debió haber parecido a nuestros antepasados cuando surgieron los números negativos.

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No te alarmes

Si te perdiste, no te preocupes, sigue leyendo y todo se aclarará. En serio.

Esos números complejos, inventados por matemáticos que juegan con ecuaciones, resultaron increíblemente prácticos para comprender la realidad.

Son una herramienta en casi cualquier cosa que implique rotación u ondas. Se usan en ingeniería eléctrica, están en los reproductores de música, radares, imágenes médicas y la comprensión del comportamiento de partículas fundamentales.

¿Cómo puede ser que algo que parece existir solo en sueños matemáticos termine siendo tan útil en el mundo real?

Para algunos, como el físico húngaro del siglo XX Eugene Wigner, es casi un milagro.

Wigner se refirió a los números complejos en un influyente ensayo de 1960, llamado “la efectividad irracional de las matemáticas en las ciencias naturales”.

¡Eficacia irracional!

Pero, un momento: si las matemáticas son diseñadas por los humanos precisamente para describir la realidad, ¿no es lógico que sirvan para hacerlo? ¿Qué tiene eso de irracional?

Recurramos a alguien que se mueve entre los ámbitos de la filosofía y de las matemáticas: la filósofa de la física Eleanor Knox.

“Es cierto que, si inventamos las matemáticas para que nos ayuden a entender los sistemas físicos, tiene mucho sentido que lo haga”, dice.

“Pero las matemáticas no parecen haberse desarrollado así -continúa- y no siempre funcionan de esa manera. Hay muchos casos en los que los matemáticos han hecho algo solo porque les interesa y resulta ser exactamente lo que se necesita en algún momento posterior para un descubrimiento físico crucial”.

“Un ejemplo famoso es la geometría no euclidiana”, dice Knox, refiriéndose a una rama de la geometría en la que trabajaban muchos matemáticos a fines del siglo XIX, sobre todo porque les parecía interesante.

“Se pensaba que todo nuestro mundo se podía describir con la geometría de Euclides, esa que aprendes en la escuela”, esa que establece “las reglas sobre ángulos rectos, los ángulos de un triángulo suman 180º, etcétera”.

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Y esos matemáticos del 1800 no estaban en pos de tumbar la geometría euclidiana. Sencillamente estaban explorando y, saliéndose de los límites, encontraron estructuras matemáticas interesantes.

“En el siglo XX, cuando Albert Einstein necesitaba una teoría para describir las reglas de espacio y tiempo para la relatividad general, lo que le sirvió fue esa geometría no euclidiana. No podría haberlo logrado sin ella“, explica Knox.

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“Hoy en día pensamos que el mundo tiene la estructura de esa geometría que entonces era extraña, pero ninguno de los matemáticos que comenzaron a trabajar en ella predijeron ese descubrimiento en particular”, concluye la filósofa.

Por casos como ese, a veces parece que, si no milagrosa, la relación de las matemáticas con la realidad es al menos asombrosa.

La realidad fundamental

A medida que avanza la física moderna, es difícil para los que somos simples mortales comprender las complicadas matemáticas y la extraña realidad que describen.

Pero tal vez eso no sea sorprendente: no hay ninguna razón por la cual la realidad cotidiana que podemos percibir con nuestros sentidos sea la realidad fundamental del universo.

Lo que sí es sorprendente es que con las matemáticas parece posible explorar mucho más de lo que nuestros sentidos permiten.

Sin embargo, en la búsqueda de una realidad fundamental, ¿será que las matemáticas alcanzarán un límite en su capacidad para describirla?

“El siglo XX nos dio dos de nuestras teorías físicas más exitosas: la de la mecánica cuántica (el mundo a escala de lo ultra pequeño, de los átomos y subátomos) y la de la relatividad general”, dice Knox.

“Resulta que lograr que las matemáticas de esas dos teorías funcionen juntas es increíblemente complicado.

“No contamos con un marco coherente para comprender cómo estas dos teorías pueden existir en el mismo mundo, cómo pueden describir la misma realidad”, continúa.

“Para intentar hacerlo, hay que pasar a niveles de complejidad aturdidores y sin poder, por el momento, conectar lo que estás pensando con experimentos”.

Sin embargo, como ya nos explicaron, mucho ha empezado así: como una idea en busca de su función práctica.

O, ¿será que hemos llegado a ese límite?

“En este punto, quizás uno podría concluir que hasta ahora hemos sido muy, muy afortunados de que las matemáticas describieran nuestro universo”, dice Knox.

“Otra opción es pensar que las matemáticas describen parches del mundo, no su totalidad”.

O, que la totalidad del mundo es realmente complicada.

“O que las matemáticas son endiabladamente complicadas y nos superan… o que simplemente aún no no hemos entendido pero llegaremos a entender”, dice Knox.

Una gran diferencia

Tal vez no debería sorprendernos que a veces sea endemoniadamente difícil lograr que las leyes de las matemáticas coincidan con las leyes de la realidad física. Después de todo, no son lo mismo.

Como dijo Einstein: “Cuanto más refieren a la realidad, las leyes matemáticas se vuelven inciertas; y cuanto más certeras son, menos se refieren a la realidad”.

Knox explica: “Las matemáticas tiene una característica particular: son absolutamente ciertas o falsas. Si yo pruebo algo en matemáticas, nadie puede dudar de ese hecho. Las leyes físicas no son así. Esa es una de las grandes distinciones”.

“Frecuentemente nos hemos equivocado con nuestras leyes. Las leyes de Newton son bellas, elegantes y en ciertos casos válidas, pero no son toda la verdad. Sin duda en el futuro se probará que las leyes de Einstein también son aproximadas”, predice la filósofa de física.

¿Se descubren o se inventan?

Recapitulemos para no perdernos:

• Las ecuaciones matemáticas pueden explicar muchas de las teorías de la física que tenemos hoy. Pero, aún no sabemos todas las respuestas.
• Que 2 + 2 = 4 siempre será cierto, mientras que la gravedad de Newton era cierta hasta que Einstein apareció y la refinó.
• Hay aspectos de la física que aún no entendemos.

¿Habrá matemáticas para explicar lo que falta y que esperan a ser descubiertas, como pasó con los números imaginarios?

Aunque “descubiertas” implicaría que hay un universo matemático esperando a ser explorado, cuando quizás es algo que nos inventamos.

Lo que nos lleva de vuelta al enigma: ¿de dónde vienen las matemáticas?

Esta es una pregunta para un matemático (increíblemente hemos llegado casi al final sin consultar a uno, pero definitivamente necesitamos uno ahora).

Eugenia Cheng es matemática y científica residente en la Escuela del Instituto de Arte de Chicago. Ella nos puede responder si las matemáticas son algo que se descubre o inventa.

“Genuinamente siento que descubro conceptos e invento formas de pensar sobre ellos. Cuando hago investigación abstracta siento que estoy deambulando por una jungla abstracta en busca de cosas, y luego invento una manera de hablar y teorizar sobre ellas para poder organizar mis pensamientos y comunicarlos”, dice.

“La parte que más me gusta es deambular por ese mundo abstracto para ver qué encuentro. Y claro que ese mundo está en mi imaginación, pero se siente muy inherente como si no lo hubiera hecho sino que ya estaba ahí”, reconoce.

Cheng trabaja en el campo de la teoría de categorías (a veces llamada “las matemáticas de las matemáticas“), que trata de construir puentes entre diferentes áreas de las matemáticas.

Es difícil pensar en algo más abstracto, así que le preguntamos si siente que las matemáticas que estudia se relacionan con la realidad: “Cuando la gente me pregunta sobre la realidad, quiero responder: ¿qué es real de todos modos?”.

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“La gente dice que los números no son reales, porque no puedes tocarlos. Pero hay muchas cosas que son reales pero no puedo tocar, como el hambre“, ejemplifica.

“Por eso prefiero hablar de cosas concretas -las que podemos tocar y con las que podemos interactuar directamente- y cosas abstractas -con las que interactuamos en nuestros cerebros-“.

Según Cheng, “las matemáticas son abstractas pero una idea abstracta puede ser tan real como cualquier otra cosa… porque, de todos modos, ¿qué es real?”.

¿Qué es real?

Por un lado, uno podría alegar que las matemáticas son la realidad.

Piensa, por ejemplo, en nuestra biología, que se basa en la química, que se rige esencialmente por las leyes de la física… y llegamos a los números.

O piensa en el cielo azul, que se explica por las longitudes de onda de la luz refractada… y todo eso es números.

Parecería que, si profundizas lo suficiente, la realidad física es matemática.

Sin embargo, las matemáticas no parecen poder decirnos nada significativo sobre algunas de las cosas más importantes de la vida, como el amor, el hambre o la moralidad.

Así que de todos los grandes interrogantes que tocamos, solo podemos responder uno con certeza: al principio dijimos que quizás no lograríamos encontrar respuestas definitivas a la pregunta que le envió a la BBC desde Perú Sergio Huarcaya.

Pues bien, ahora podemos decir con certeza que no lo logramos.

Pero valió la pena el intento.

Emma Haruka Iwao, una ingeniera de software, superó con sus cálculos la cifra anterior, establecida en 22.000 millones de dígitos.

La desarrolladora web de Google lo consiguió con ayuda del servicio de computación en la nube del gigante tecnológico.

Google anunció la noticia en su blog en el día de la conmemoración del Pi, que se festeja cada 14 de marzo en Estados Unidos desde 2009.

¿Para qué se usa Pi? (Y no es solo para calcular el perímetro o área de un círculo)

“Estoy muy sorprendida”, dijo Iwao sobre su hito, que quedó registrado en el Libro Guinness. “Todavía estoy tratando de asumir la realidad. Batir el récord mundial ha sido muy duro“.

Pi “se descubrió” originalmente para medir círculos. Es el número que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia de cualquier círculo por su diámetro.

Es infinitamente largo, pero sus primeros dígitos (3,1416) son los más conocidos.

Extender la secuencia conocida de dígitos en Pi es muy difícil porque el número no sigue un patrón establecido, por eso se considera un número “irracional”.

El cálculo de Iwao requirió 170 TB (terabytes) de datos -es una cifra enorme: 200.000 pistas musicales ocupan 1 TB- y necesitó 25 máquinas virtuales y 121 días para completarlo.

¿Para qué se usa Pi?

Pi se usa en ingeniería, física, supercomputación y exploración espacial, pues su valor puede ser útil para cálculos de ondas, círculos y cilindros.

La NASA (agencia espacial estadounidense) publicó previamente un listado de usos de Pi. Estos son algunos de ellos:

• calcular el tamaño que se requiere de un paracaídas para enviar un vehículo a la superficie de Marte
• averiguar cuántas imágenes de cámara rectangulares se necesitan para mapear la superficie de un planeta
• conseguir que una nave espacial frene en el momento justo para entrar en órbita alrededor de los planetas

“Pi no solo es útil para medir círculos, sino que también aparece en todo tipo de cálculos, desde el periodo de un péndulo hasta la fuerza de pandeo de una viga”, le dijo a la BBC el matemático Matt Parker.

“Las matemáticas modernas, la física, la ingeniería y la tecnología no podrían funcionar sin el Pi”.

En 2010, el investigador Nicholas Sze usó el sistema de computación en la nube de Yahoo para calcular que el número que ocupa la posición 2.000 billones dentro de los decimales de Pi era cero, un cálculo que habría tomado 500 años en una computadora estándar en ese momento.

Sin embargo, no calculó los dígitos intermedios.

La búsqueda de versiones más largas de Pi -como la que obtuvo Iwao- es un gran pasatiempo para los matemáticos. De hecho, la empleada de Google dijo que se siente fascinada por esa secuencia matemática desde que era una niña.

Pero espera expandir su trabajo más allá de Pi.

“No acaba con Pi, me encantaría probar más dígitos”, le contó a BBC News.

Pero mucho antes de ello, Olga Ladyzhenskaya fue una joven que, a pesar de haber egresado de secundaria con excelentes notas, le negaron el ingreso en la Universidad Estatal de Leningrado.

¿La razón? Su padre, Aleksandr Ivanovich, era considerado un “enemigo del Estado” soviético.

Ladyzhenskaya nació hace justo 96 años, el 7 de marzo de 1922, en Kologriv, un pueblo rural ubicado en el oeste de la actual Rusia.

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Desde pequeña, mostró un interés y talento para el cálculo, algo que su padre, en tanto profesor de matemáticas, se encargó de incentivar.

Sin embargo, cuando tenía solo 15 años, su padre fue apresado y luego ejecutado por las autoridades soviéticas por cargos de traición.

La sombra de ese duelo se extendería luego con el rechazo de la Universidad Estatal de Leningrado en 1939 y, paradójicamente, la llevaría a seguir los pasos de su padre y estudiar docencia en matemáticas.

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Tras 4 años como profesora, finalmente logró ser aceptada en la Universidad Estatal de Moscú e incluso hacer su postgrado en el instituto que la rechazó, donde luego pasaría a trabajar como investigadora.

Desde entonces, Ladyzhenskaya ascendió en el ambiente científico nacional hasta convertirse en la presidenta de la Sociedad Matemática de San Petersburgo y una de las más influyentes pensadoras de su época.

Y aún así, “siempre fue vista como una rebelde y tratada como tal por el gobierno soviético”, dijo Peter D. Lax del Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York al diario The New York Times, tras la muerte de la investigadora en 2004, a los 81 años.

Sus ideas

Los trabajos de Ladyzhenskaya se centraron en ecuaciones diferenciales, la misma área en la que se especializó el matemático estadounidense y premio Nobel John Nash, retratado por Russell Crowe en la película “Una menta brillante” (2002).

Por eso, muchas veces los han comparado.

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Si bien las investigaciones de Ladyzhenskaya tienen vastas aplicaciones, es probable que su mayor aporte para el común de los mortales sea en el ámbito de la meteorología.

Es que gracias a sus cálculos, fue posible predecir con mayor exactitud el movimiento de las nubes en las tormentas y, por ende, tener mejores pronósticos del tiempo.

Pero además de su trabajo en las ecuaciones conocidas como Navier-Stokes, sus papers impulsaron avances en el estudio de los fluidos dinámicos, dos elementos incorporados en el diseño del doodle de Google que la homenajea este jueves.

Según un extenso texto publicado en 2004 por la Sociedad Estadounidense de Matemáticas en homenaje a Ladyzhenskaya, su carrera “muestra que incluso en los días más oscuros del totalitarismo soviético, hubo académicos valientes”.

Es el mismo que usamos hoy en día, según el cual, la posición en la que están los números nos indica las unidades, decenas, cientos, miles y así sucesivamente.

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No se sabe si los indios lo aprendieron de los comerciantes chinos o si lo idearon ellos mismos.

Lo cierto es que los indios lo refinaron y perfeccionaron, creando los ancestros para los nueve números que se usan en todo el mundo ahora.

Muchos califican al sistema indio de contar como una de las mayores innovaciones intelectuales de todos los tiempos y son lo más cercano a lo que podríamos llamar un lenguaje universal.

Pero faltaba un número y fue India la que se lo dio al mundo.

El primer registro conocido de este número data del siglo IX, aunque probablemente estuvo en uso práctico durante siglos antes.

Este extraño número nuevo está grabado en la pared del pequeño templo en el fuerte de Gwalior en el centro de India, uno de los lugares sagrados del mundo matemático.

El cero

Es sorprendente pensar que antes de que los indios lo inventaran, no había cero.

Para los antiguos griegos, simplemente no existió.

Entre los egipcios, los mesopotámicos y los chinos el cero había estado en uso, pero como un marcador de posición, un espacio vacío.

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Los indios transformaron al cero en un número que tenía sentido por derecho propio, un número para el cálculo, para la investigación.

Este brillante salto conceptual revolucionó las matemáticas.

Desde ese momento, con solo diez dígitos, del cero al nueve, de repente era posible capturar números astronómicamente grandes de una manera increíblemente eficiente.

¿Cómo dieron los indios un paso tan imaginativo?

Nunca lo sabremos con seguridad, pero es posible que la idea y el símbolo que los indios usan para el cero provinieran de cálculos que hacían con piedras en el suelo.

Cuando eliminaban las piedras al hacer cálculos, quedaba un agujero pequeño y redondo en su lugar, que representa el movimiento de algo a nada.

Aunque quizás también hubo una razón cultural para la invención de este número.

Para los antiguos indios, los conceptos de la nada y la eternidad son el centro de su sistema de creencias.

En las religiones de India, el Universo nació de la nada y la nada es el objetivo final de la humanidad.

Entonces, tal vez no sea sorprendente que una cultura que acogió con tal entusiasmo el vacío pudiera acomodar sin problema la noción del cero.

Los indios incluso utilizaron la palabra para la idea filosófica del vacío, “shunya“, para representar el nuevo término matemático “cero”.

Del 0 al infinito

En el siglo VII, el brillante matemático indio Brahmagupta demostró algunas de las propiedades esenciales de cero.

Las reglas de Brahmagupta sobre el cálculo con cero se enseñan en las escuelas de todo el mundo hasta el día de hoy.

1 + 0 = 1

1 – 0 = 1

1 x 0 = 0

Pero Brahmagupta se topó con un problema cuando trató de dividir uno entre cero.

¿Qué número multiplicado por cero es igual a uno?

La solución requeriría un nuevo concepto matemático: el de infinito.

Sólo eso le daría sentido a la división por cero y el avance fue realizado por un matemático indio del siglo XII llamado Bhaskara II.

¿Cómo lo hizo?

Si tomas una fruta y la partes por la mitad, obtienes dos pedazos.

Si la divides en tercios, te quedan tres pedazos.

Si continúas dividiéndola en fracciones cada vez más pequeñas, tendrás más y más pedazos.

Eventualmente, cuando las fracciones se reduzcan a cero, tendrás infinitos pedazos.

Bhaskara razonó que uno dividido por cero es igual a infinito.

Pero los indios irían todavía más lejos en sus cálculos con el cero.

Una nada diferente

Hasta entonces estaba aceptado que, por ejemplo: 3 – 3 = 0.

Pero ¿qué sucede cuando tienes tres y le restas cuatro?

Parece que no tienes nada, pero los indios reconocieron que se trataba de un nuevo tipo de nada: números negativos.

Los indios los llamaron “deudas”, porque resolvieron ecuaciones como: “Si tengo tres lotes de tela y uso cuatro, ¿cuántos me quedan?”.

Esto puede parecer extraño y poco práctico, pero esa era la belleza de las matemáticas indias.

Los indios tuvieron la capacidad de llegar a números negativos y al cero porque concebían los números como entidades abstractas.

No eran algo que solo servía para contar o para medir piezas de tela: tenían una vida propia, flotaban sin ataduras con el mundo real.

Y eso fue lo que llevó a una explosión de ideas matemáticas.

Las X y las Y

El enfoque abstracto de los indios a las matemáticas pronto reveló un nuevo aspecto del problema de cómo resolver ecuaciones cuadráticas, es decir, ecuaciones que incluyen números a la potencia de dos.

La comprensión de Brahmagupta de los números negativos le permitió ver que las ecuaciones cuadráticas siempre tienen dos soluciones, una de las cuales podía ser negativa.

Brahmagupta fue aún más lejos, resolviendo ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas, algo que en Occidente no se consideraría hasta 1657, cuando el matemático francés Pierre de Fermat retó a sus colegas con el mismo problema, sin saber que el brillante indio había encontrado la solución 1.000 años antes.

Brahmagupta no solo encontró formas abstractas de resolver ecuaciones, sino que, asombrosamente, también desarrolló un nuevo lenguaje matemático para expresar esa abstracción.

Al experimentar con formas de escribir sus ecuaciones, usó las iniciales de los nombres de diferentes colores para representar incógnitas.

Eso fue lo que llevó a las X y las Y que usamos en matemáticas hasta hoy en día.

Como si fuera poco…

Los matemáticos indios fueron responsables de hacer nuevos descubrimientos fundamentales en la teoría de la trigonometría.

La trigonometría es como un diccionario, pues traduce la geometría en números y viceversa.

Aunque los primeros en desarrollarla fueron los antiguos griegos, floreció en manos de los indios.

En esencia, la trigonometría estudia los triángulos rectángulos.

En este triángulo, por ejemplo, sabes que el ángulo es de 30º.

Esa información es suficiente para encontrar la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa usando la función seno.

¡Suena complicado! Pero lo que nos dice es que hay una relación de uno a dos, o sea que el cateto tiene la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Con esa función puedes calcular distancias cuando no es difícil hacer mediciones precisas.

Por eso se sigue usando mucho en arquitectura e ingeniería.

En su época, los indios la usaron para estudiar el mundo que los rodeaba, navegar por los mares y trazar las profundidades del espacio.

Matemáticas en el espacio

Valiéndose de la trigonometría, los astrónomos indios pudieron calcular la distancia relativa entre la Tierra y la Luna, y de la Tierra y el Sol.

Solo puedes hacer el cálculo cuando la Luna está medio llena, porque es cuando está directamente opuesta al Sol.

En ese momento, el Sol, la Luna y la Tierra crean un triángulo rectángulo.

Los antiguos indios pudieron medir que el ángulo entre el Sol y su observatorio era de una séptima parte de un grado. La función sinusoidal de un séptimo de grado da la relación de 400: 1.

Eso significa que el Sol está 400 veces más lejos de la Tierra que la Luna.

Fue así como los matemáticos indios pudieron explorar el Sistema Solar sin tener que abandonar la superficie de la Tierra.

Infinito y más allá

Los antiguos griegos habían sido los primeros en explorar la función seno, enumerando valores precisos para algunos ángulos, pero no podían calcular los senos de cada ángulo.

Los indios fueron mucho más lejos, planteándose una tarea gigantesca: encontrar una manera de calcular la función seno de cualquier ángulo.

El avance en la búsqueda de la función sinusoidal de cada ángulo se hizo en Kerala, en el sur de la India.

En el siglo XV, esa parte del país se convirtió en el hogar de una de las escuelas de matemáticos más brillantes que jamás haya existido.

Su líder se llamaba Madhava e hizo descubrimientos matemáticos extraordinarios, como que podías sumar infinitas cosas con efectos dramáticos.

Un ejemplo: imagínate que quieres recorrer la distancia que hay entre tú y la puerta de una habitación.

Puedes llegar a la mitad, detenerte. Luego recorrer 1/4 de la distancia que te queda; después 1/8… 1/16… y así sucesivamente.

Cuanto más pequeñas son las fracciones que recorres, más te acercas a 1, pero solo llegarás cuando hayas sumado infinitas fracciones.

Pero ¿por qué sencillamente no caminas hacia esa puerta de una vez y ya?

Física y filosóficamente es un reto sumar infinitas cosas, pero el poder de las matemáticas es darle sentido a lo imposible.

Al producir un lenguaje para articular y manipular el infinito, puedes probar que después de infinitos pasos llegarás a tu destino.

Estas sumas infinitas se llaman series infinitas y Madhava investigó a fondo las conexiones entre estas series y la trigonometría.

Y se dio cuenta de que podía usar el mismo principio de sumar infinitas fracciones para resolver el misterio de uno de los números más importantes en matemáticas: pi (π).

El elusivo pi

Pi es la relación entre la circunferencia del círculo y su diámetro.

• ¿Para qué se usa Pi? (Y no es solo para calcular el perímetro o área de un círculo)

Es un número que aparece en todo tipo de matemáticas, pero es especialmente útil para los ingenieros, porque cualquier medida que involucre curvas pronto requiere pi.

Así que durante siglos, los matemáticos estuvieron en busca del valor preciso de pi.

Fue en India en el siglo VI que el matemático Aryabhata dio una aproximación muy precisa para pi: 3,1416.

Al usarla para medir la circunferencia de la Tierra, llegó a la conclusión de que tiene 39.968 kilómetros, una cifra muy cercana de la verdadera: 40.075 km.

No obstante, Madhava se dio cuenta que, al sumar y restar sucesivamente diferentes fracciones, era posible determinar una fórmula exacta para pi.

Esa es la fórmula que a muchos les enseñan en la universidad como descubierta por el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz del siglo XVII.

• La crucial teoría matemática que enfrentó a dos titanes del siglo XVII: Isaac Newton y Gottfried Leibniz

Pero en realidad, fue descubierta dos siglos antes en Kerala.

Madhava continuó utilizando el mismo tipo de matemáticas para obtener expresiones de series infinitas para la fórmula sinusoidal en trigonometría.

Y lo maravilloso es que hoy puedes usar estas fórmulas para calcular el seno de cualquier ángulo con cualquier grado de precisión.

Parece increíble que los indios hayan hecho estos descubrimientos siglos antes que los matemáticos occidentales.

Dice mucho sobre la actitud en Occidente hacia las culturas no occidentales que a menudo presenta sus descubrimientos como propios.

Recién ahora, a principios del siglo XXI, que la historia se está reescribiendo.

Esto le interesa

Estos son los resultados de las evaluaciones de graduandos

El informático guatemalteco Luis Von Ahn, fundador de la compañía Doulingo y creado de los sistemas Captcha y Recaptcha, menciona que el fomento de las ciencias, como la Matemática, abre la puerta para el desarrollo y el florecimiento de la tecnología, que puede sacar al país de la pobreza.

En tanto que el Premio Nacional de Literatura Miguel Ángel Asturias 1999, el licenciado en Filosofía, Lengua y Literatura Española e Hispanoamericana, Mario Alberto Carrera Galindo, refiere que si una persona lee adecuadamente, el conocimiento no es posible, y si en un país no se procura el desarrollo intelectual, el desarrollo humano también será escaso.

Luis von Ahn: Fomentar el estudio de las ciencias abre la puerta al desarrollo y el progreso

¿Es importante la Matemática en la vida cotidiana?

En mi opinión, nos ayuda a pensar mejor. Alguien que tiene buen entendimiento de Matemática piensa con mejor claridad en cualquier área, ya sea en el área de negocios, en tecnología, en el área de comunicaciones. Alguien que tiene un entendimiento básico bueno de la matemática piensa con más claridad. Es necesaria en la mayoría de las áreas.

¿Por qué debe preocuparnos que los graduandos tengan un bajo nivel de desempeño en Matemática?

La Matemática y la ciencia en general es importantísima para el desarrollo de cualquier país. Es algo de lo que se habla mucho acá en Estados Unidos. La gente está preocupada porque los niveles de educación de Matemática y de ciencia se están quedando atrás con relación a países de Asia y Europa. El hecho de que este tan bajo en Guatemala no habla bien para nuestro futuro.

En mi caso, si no hubiera sido por la Matemática no hubiera llegado a ningún lado. Cualquier persona que quiere comenzar una empresa de tecnología tiene que tener un nivel muy alto de Matemática.

Es realmente imposible comenzar con una empresa de tecnología exitosa sin tener buen dominio de Matemática. Realmente es imposible. Todas las personas que han comenzado empresas de tecnología exitosas como Google, Apple, Microsoft, tenían niveles de matemática altísimos.

¿Nos afecta como país?

Si nuestro nivel de matemática es tan bajo, es imposible esperar que vayamos a tener, por ejemplo, mucho aporte a la tecnología mundial. Bueno, ya estamos atrás, pero si nos quedamos aún más atrás en la tecnología, nuestra economía va a seguir mal, porque la tecnología es una de las cosas que más está sacando a los países de la pobreza.

Guatemala ya cuenta con la Licenciatura en Matemática

Cuando vine a Estados Unidos, que fue hace como 20 años, el número de personas que estaban estudiando Matemática pura en toda Guatemala eran como cinco, y una de las razones por las que me vine es porque quería estudiarla.

Qué bueno que hay más (oportunidades), pero el Gobierno gasta muy poco en ciencia, es cierto que no tenemos mucho dinero, pero gasta muy poco en ciencia, para poder tener más carreras y más personas (estudiando). El problema es que quienes estudian Matemática muchas veces no encuentran trabajo. El único que encuentran es de maestro de Matemática en escuelas donde no les pagan muy bien, por lo que muchos mejor se van del país.

Si hubiera una carrera verdadera para matemáticos en Guatemala, más gente lo estudiaría.

Los resultados de matemática de los graduandos, que dio a conocer el Ministerio de Educación, mejoraron casi un 2% en comparación con el año anterior.

Cuando oí que Guatemala había mejorado un 1.84% no me pareció tan mal, mejorar esos números año con año no es fácil. Lograr una mejoría del 30% eso no va a pasar. Y quizá sea un poco bajo, pero si estamos mejorando 3% o 4% año con año deberíamos estar contentos con eso, porque es difícil.

¿Qué hacer para que esta mejora sea una constante?

Creo que en parte hay que asegurar que todos los maestros de Matemática sepan de Matemática, eso es importante.

Ahora, ¿hacer que a los alumnos les interese? Si encuentran una manera de hacerlo, ahí me cuentan, porque acá en Estados Unidos tampoco han encontrado la manera de que a toda la gente le interese la Matemática. No creo que esto sea muy fácil de resolver.

También es importante dar modelos de rol, por ejemplo, decir la razón por la que Bill Gates está allí, es porque es bueno en Matemática.

Tener modelos de rol así ayuda bastante. Tener buenos futbolistas hace que la gente quiera jugar más fútbol, de la misma manera, tenemos gente que ha sido muy exitosa en Matemática.

Mario Alberto Carrera: La riqueza del lenguaje está en la comprensión de los significados

¿Por qué es importante que los estudiantes tengan un buen desempeño en lectura?

Las palabras son un signo, pero lo fundamental de ese signo, también, es el significado. Lo que el estudiante lee o lo que capta es solamente el signo en el lenguaje, pero el concepto o el significado de la palabra eso es lo que el estudiante no maneja, y si no maneja conceptos, no se comunica.

Es decir, es como si utilizará algo sin saber para qué sirve, este es el problema que se plantea con los estudiantes.

 ¿Dónde está el problema?

Al estudiante se le da un texto, y dependiendo del nivel van teniendo textos más complicados, a medida que van subiendo en los cursos, la complicación se deriva en que tienen que ir conociendo más significantes.

Es decir, el significante es en el campo general de las ciencias lo que va a ser el fondo del aprendizaje, y es allí donde ellos no logran entender lo que están leyendo, y es entonces en vano que se realice una lectura.

En ese juego es que se realiza el conocimiento, en la relación entre el signo y el significante pero que va creciendo en la medida en que los libros son más profundos y que tienen más conocimiento.

El que no tengan un nivel apropiado es lo que está afectando que sus evaluaciones sigan siendo bajas.

El problema es que no llegan a saber. Pareciera algo muy tonto, pero cuando digo que no llega a saber, es que no conocen; la lectura, entonces, fue tiempo perdido.

¿Cómo solucionar esas deficiencias?

Enriquecer al estudiante con los significantes, enseñándoles que cada palabra que se le presenta ante sus ojos, o cada frase, si el no busca un diccionario, por ejemplo, para ver el significado de las palabras que ignoran, es en vano que esté realizando la lectura.

También, los profesores son incapaces de explicar significados profundos y complicados, porque ni ellos mismos lo sabe. Porque también depende de muchas cosas más.

En la medida que la persona va teniendo más desarrollo mental es que va conociendo y posibilitándose el proceso del conocimiento.

¿Cómo afecta al desarrollo personal y de país que los estudiantes tengan un bajo desempeño en las evaluaciones?

En una forma tremenda. Estamos en un país donde el conocimiento en general está muy mal. El guatemalteco en general no tiene muchas veces los conocimientos que se le suponen. Guatemala tiene muy poco desarrollo intelectual y desarrollo humano. Tendrá desarrollo económico y serán los ricos los que se enriquezcan, pero el desarrollo humano de Guatemala, lo ha demostrado el PNUD (Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo) está bajísimo. Entonces, si es un país de miserables en un sentido económico, también es un país de miserables en un sentido intelectual.

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El premio es suculento… pero la tarea no es fácil. Hasta ahora, solo uno ha sido resuelto de manera oficial.

El pasado mes de septiembre, el británico Michael Atiyah aseguró haber solucionado el problema de la “hipótesis de Riemann” al hallar una fórmula con la que predecir el siguiente número primo dentro de una serie de cifras.

• Hipótesis de Riemann: Michael Atiyah, el “genio” de 89 años que asegura haber resuelto uno de los mayores problemas matemáticos de la historia

Pero antes de poder recibir el premio, su teoría debe ser publicada por una revista científica de prestigio mundial. Dos años después, si la teoría es aceptada por la comunidad matemática, tendrá que recibir el visto bueno de dos comités independientes de expertos del Instituto Clay.

¿Te atreves a intentar solucionar uno? En BBC Mundo te contamos cuáles son los siete Problemas del Milenio.

1. El problema de P frente a NP

“P frente a NP” aspira a demostrar o refutar la creencia de que hay problemas para los que, por su complejidad, es más difícil encontrarles una solución que comprobar si esa solución es correcta.

Los problemas P (polinómicos) son los que se pueden resolver en un tiempo razonable. Los problemas NP (no deterministas en tiempo polinómico) son aquellos que, aunque sea difícil encontrarles solución, una vez hallada se puede comprobar en un tiempo razonable que es correcta.

Si se puede encontrar fácilmente una solución, esta también se podrá verificar de manera sencilla, por lo que todo problema P es también NP.

Lo que se desconoce es si hay algún problema NP que no sea P. Los expertos confían en que así sea, pero de momento nadie ha sido capaz de demostrarlo.

2. La conjetura de Hodge

Algunos matemáticos aseguran que este problema es el más difícil de explicar al público en términos que no resulten demasiado técnicos.

La conjetura de Hodge está relacionada con la geometría algebraica, que estudia los lugares geométricos que se pueden definir por polinomios como circunferencias o parábolas.

Con el paso del tiempo, sin embargo, algunas propiedades de estos conjuntos comenzaron a ser aplicadas a cosas que no tienen una interpretación geométrica. Una de ellas es lo que se conoce como un “ciclo de Hodge”.

Este problema relaciona la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular con sus subvariedades. En concreto, la conjetura dice que todo ciclo de Hodge es combinación racional de ciclos algebraicos, es decir, de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas.

3. La conjetura de Poincaré

Este problema es el único que hasta el momento fue solucionado oficialmente. El logro fue del matemático ruso Grigori Perelman en 2006, quien sorprendió al rechazar el premio tras asegurar que no era ningún héroe ni quería ser expuesto de manera masiva.

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La conjetura de Poincaré era considerada una de las hipótesis matemáticas más importantes y difíciles de demostrar.

En topología, la superficie de una esfera bidimensional se caracteriza por ser la única superficie simplemente conexa, compacta y cerrada (sin límites).

La conjetura, que se transformó en teorema después de que la resolución de Perelmán fuera aceptada, establece que esta afirmación es también válida para esferas tridimensionales.

4. La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann se centra en la distribución de los números primos, aquellos indivisibles por cualquier otro número que no sea 1 ni ellos mismos.

El matemático alemán Bernd Riemann sugirió que la distribución de estos números está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada “función zeta de Riemann”.

Esta función tiene dos tipos de ceros: los ceros “triviales”, que son todos los números enteros pares y negativos; y los ceros “no triviales”, cuya parte real está siempre entre 0 y 1.

La hipótesis dice que todos los ceros no triviales tienen una parte real de 1/2.Esto ha sido verificado para las primeras 10.000.000.000.000 soluciones.

5. Yang-Mills y el salto de masa (“mass gap”)

Distintos experimentos descubrieron la existencia de un mass gap (traducido en español como “salto de masa” o “intervalo másico”) en la solución a la teoría de Yang-Mills, la cual estableció las bases de la teoría de las partículas elementales de la materia y en cuya versión cuántica describen partículas sin masa (gluones).

El uso exitoso de esta teoría para describir las fuertes interacciones de las partículas elementales depende de ese “salto de masa”, una propiedad mecánica cuántica según la cual las partículas cuánticas tienen masas positivas, aunque las ondas clásicas viajan a la velocidad de la luz.

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Aunque esta propiedad fue confirmada por simulaciones por computadora, aún no se logró entender desde un punto de vista teórico.

El problema consiste en determinar de manera rigurosa la existencia de una teoría de Yang-Mills cuántica que pueda explicar este fenómeno. Es decir, si —como muchos expertos creen— todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa o no.

6. Las ecuaciones de Navier-Stokes

Estas ecuaciones describen el movimiento de fluidos como líquidos y gases que gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes del océano o el flujo alrededor de vehículos o proyectiles.

Pese a que desde su formulación en el siglo XIX describen adecuadamente tanto el flujo turbulento (el que se da de manera caótica) como laminar (no turbulento), sigue sin existir una explicación rigurosa de cómo un fluido pasa de tener un flujo regular a uno turbulento.

Los científicos tratan de conseguir una mejorada teoría matemática sobre la dinámica de fluidos que ayude a entender el fenómeno de la turbulencia y desbloquear los muchos secretos ocultos que aún permanecen en las ecuaciones de Navier-Stokes.

Matemáticos y físicos creen que esto nos ayudaría a mejorar nuestro conocimiento sobre la formación de olas en el mar o turbulencias en el aire y, lo que es aún más importante, poder predecirlas mejor.

7. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que une geometría algebraica y teoría de números, pide estudiar las soluciones racionales a ecuaciones que definen una curva elíptica.

Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales (que tienen ninguna o infinitas soluciones racionales).

El problema, sin embargo, está en demostrar un criterio que distinga qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.