Por qué tardamos más de 2.000 años en saber cuán asombrosamente lejos había llegado Arquímedes en su conocimiento de matemáticas

“No hay otro matemático en la antigüedad, ni tampoco en la historia, que se acerque a Arquímedes”, le dijo a la BBC, cuando el manuscrito fue recuperado, Chris Rorres, hoy profesor emérito de Matemáticas de la Universidad Drexel de Pensilvania, Estados Unidos.

Arquímedes es famoso como el hombre que gritó “¡Eureka!” en la bañera.

Estaba tratando de resolver un problema con una corona de oro del rey.

Quizás también te interese

• Por qué Jerusalén es una ciudad tan disputada y por qué ninguna potencia la reconoce como la capital de Israel
• “Mi novio violó a su exnovia estando dormido”: las consecuencias de sufrir de sexomnia
• Por qué hay 200 inversionistas de Estados Unidos que piden que Perú no sea admitido en la OCDE
• Cómo los gemelos Winklevoss, que demandaron a Mark Zuckerberg “por haberles robado Facebook”, se convirtieron en los primeros milmillonarios del bitcoin

El rey sospechaba que el orfebre que la había fabricado le había mezclado plata, que era más barata. La corona pesaba la cantidad correcta, pero la plata es más ligera que el oro, por lo que la pregunta era: ¿era más grande en volumen de lo que habría sido si estuviera hecha de oro puro?

Se supone que cuando Arquímedes se metió en la tina y notó que cuanto más se sumergía, más agua se salía de la bañera; se dio cuenta de que podía establecer qué tan grande era la corona sumergiéndola en un recipiente con agua y midiendo cuánto líquido se desplazaba.

Dicen que estaba tan emocionado por el descubrimiento que inmediatamente salió de su baño y corrió desnudo por las calles de Siracusa gritando la palabra griega para “lo he descubierto”:

No sabemos si los ciudadanos de Sicilia alguna vez vieron el cuerpo desnudo de Arquímedes, pero la verdad sobre la corona del rey fue revelada: el orfebre había sido deshonesto y Arquímedes había resultado ser un buen detective.

Durante su vida, Arquímedes se hizo famoso por sus inventos y temido por sus armas de guerra.
El rey lo nombró consejero militar y le encargó la defensa de la ciudad.

Pero es a través de sus matemáticas que se revela el verdadero genio de Arquímedes.

3.14159265358979323846…

Fue a él a quien se le ocurrió un valor para π, vital para calcular el área de un círculo, uno de los componentes básicos de la ciencia.

Lo hizo metiendo un círculo entre polígonos, pues su perímetro se puede calcular dado que sus lados son rectos.

Comenzó poniendo un hexágono dentro del círculo y otro fuera. Luego, fue agregando más y más lados hasta tener 96.

La idea era hacer que los polígonos se acercaran cada vez más al perímetro del círculo, pues eso le daría un par de límites cada vez más cercanos entre los cuales debía estar π.

Así calculó que el valor de π estaba entre 310 ⁄ 71 (aproximadamente 3,1408) y 31 ⁄ 7 (aproximadamente 3,1429), una estimación que siguen utilizando los ingenieros hoy en día y es más que suficiente para todos los propósitos prácticos.

Obsesionado por las matemáticas, no había ningún problema demasiado ambicioso para Arquímedes.

Intentó incluso calcular la cantidad de granos de arena para llenar el Universo.

La respuesta: 10, seguido de 62 ceros.

Los historiadores de su época contaban que Arquímedes se ponía eufórico cuando descubría formas matemáticas cada vez más complejas.

4 triángulos y 4 hexágonos constituyen un tetraedro truncado…

12 cuadrados, 8 hexágonos, 6 octágonos – cubeoctaedro truncado…

12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos, 60 vértices, 120 aristas, 62 caras: un rombicosidodecaedro

¡Suficiente!

Trágicamente el genio de Arquímedes lo hizo tan conocido que hasta los romanos supieron de él, y ansiaban capturarlo.
Cuando finalmente lograron invadir Siracusa se emitieron órdenes para tomar Arquímedes prisionero.

Sin embargo, al parecer, un soldado al que no le dieron esas instrucciones fue el que lo encontró, completamente absorto en sus matemáticas, sin haberse siquiera percatado del alboroto a su rededor.

El soldado lo mató con su espada.

Un reciclaje devastador

La muerte de Arquímedes en 212 a.C. marcó el fin de una edad de oro en las matemáticas griegas, que fueron declinando gradualmente.

Sin embargo, las escrituras de Arquímedes sobrevivieron, copiadas por escribas que transmitieron sus preciosas matemáticas de generación en generación, hasta que en el siglo X se hizo una copia final de sus obras más importantes.

Pero el interés en las matemáticas se había perdido. El nombre de Arquímedes había sido olvidado.

Un día del siglo XII un monje se quedó sin pergaminos. La consecuencia fue desastrosa.

Las páginas de esa copia final de la obra más importante de Arquímedes fueron reutilizadas para hacer un libro de oraciones.

Cada una de las hojas que forman una doble página en el manuscrito fueron cortadas y dobladas para formar nuevas páginas, que tras lavarlas y rasparlas quedaron lo suficientemente claras como para poder escribir sobre ellas.

El manuscrito fue reciclado y convertido en lo que se conoce como un palimpsesto (un pergamino que “de nuevo” (“palin” en griego) se “raspaba, frotaba” (en griego “psao”) para borrar lo escrito y reutilizarlo).

Se convirtió en libro de oraciones del monasterio de Mar Saba en el desierto de Judea en Medio Oriente.

El renacer matemático

En el siglo XV, el Renacimiento llegó a Europa. La ciencia había avanzado lo suficiente como para que los estudiosos comprendieran los argumentos matemáticos de Arquímedes, pero nadie tenía la menor idea de que se habían perdido algunas de sus más grandes ideas.

Los matemáticos del Renacimiento tuvieron que lidiar con conceptos y problemas que Arquímedes había resuelto 1.500 años antes.

Pasaron cientos de años antes de que se volviera a saber del manuscrito.

Nadie sabe cómo, pero apareció en una biblioteca en Constantinopla.

Revisando el catálogo de la biblioteca, algo llamó la atención del experto danés en cultura griega Johan Ludvig Heiberg, así que fue a Constantinopla en 1906 para ver el documento que despertó su curiosidad.

“Debió haberse quedado estupefacto al ver el manuscrito. Él sabía muy bien cuán valioso era lo que estaba leyendo”, le dijo a la BBC William Noel cuando era el curador en el Walters Art Museum, EE.UU. Hoy es director del Instituto Schoenberg de Estudios de Manuscritos en Penn Libraries de Filadelfia.

Como no podía sacar el manuscrito de la biblioteca, Heiberg se llevó fotografías de las página y con ellas intentó reconstruir la obra de Arquímedes, una tarea increíblemente difícil cuando su única ayuda era una lupa.

En todo caso, el descubrimiento de Heiberg reveló ideas que nunca antes vistas.

En el libro, Arquímedes no solo daba respuestas a sus cálculos, sino que había escrito sus pensamientos más íntimos, revelando cómo había llevado a cabo su trabajo.

Tituló la obra “El Método”.

“Fue un hallazgo espectacular para la historia de las matemáticas. Si eres un pintor, seguramente estás interesado en los trabajos terminados de los Maestros, pero más que eso, querrás aprender las técnicas, los métodos, las pinturas que utilizaron. Así mismo, los matemáticos quieren saber no sólo cuáles fueron sus teoremas, sino cómo llegó a ellos”, ilustró Rorres.

Escalas en la mente

“El Método” reveló que Arquímedes creó un enfoque radical que ningún matemático había estado cerca de inventar.

En su mente había construido un conjunto de escalas completamente imaginario para comparar los volúmenes de formas curvas. Lo usó para tratar de calcular el volumen de una esfera.

Como ya se conocía el volumen de un cono y un cilindro, trató de equilibrar la esfera y el cono en un lado con el cilindro en el otro. En su mente.

Imaginó hacer un número infinito de cortes y, usando una matemática muy compleja, encontró la forma de equilibrar los objetos en las escalas.

El resultado final: el volumen de una esfera es precisamente dos tercios del volumen del cilindro que encierra esta esfera.

Fue un resultado que consideró tan importante que pidió que lo inscribieran en su lápida como su descubrimiento matemático más importante.

Elaborar volúmenes utilizando infinitos cortes indica que Arquímedes estaba dando el primer paso hacia una rama vital de las matemáticas conocida como cálculo 1.800 años antes de que se inventara.

El mundo moderno no podría existir sin el cálculo. Es esencial para científicos e ingenieros, y de ello depende la tecnología del siglo XXI.

Otra desaparición

En 1914, cuando estaba a punto de descubrir el verdadero genio de Arquímedes, el plan de Heiberg de estudiar el manuscrito en Constantinopla fue brutalmente interrumpido

La Primera Guerra Mundial estalló. Europa y el Medio Oriente se vieron sumidos en la confusión y el palimpsesto se perdió de nuevo.

Los académicos tenían pocas esperanzas de volver a ver el documento.

Pero en 1971, Nigel Wilson, experto en Grecia Antigua, oyó hablar de una página de un manuscrito en una biblioteca de la Universidad de Cambridge y fue a investigar.

“Transcribí algunas oraciones. Incluían algunos términos técnicos muy específicos. Por el léxico descubrí rápidamente que se trataba de un ensayo de Arquímedes, y me di cuenta de que debía ser una hoja del famoso palimpsesto”, le contó a la BBC Wilson, miembro emérito y tutor de Estudios Clásicos de la Universidad de Oxford.

¿Pero por qué apareció en Cambridge una sola página del palimpsesto de Arquímedes?

Una pista era su proveniencia: era uno de una colección de documentos que había pertenecido a un erudito llamado Constantine Tischendorf, un hombre de pocos escrúpulos.

“Tischendorf viajó mucho en Medio Oriente. En Constantinopla visitó la biblioteca y dijo que sólo quedaba un manuscrito de interés: un palimpsesto con un texto matemático. No dijo más”, dice Wilson.

“No podemos más que suponer que se robó esa página”, añade.

A principios del siglo XX, Heiberg sólo tenía una lupa para leer el manuscrito. En los años 70, Nigel Wilson tenía la ventaja de la tecnología moderna.

“La mayor parte de la página era legible y con la lámpara ultravioleta, las esquinas, que no se podían leer, se aclararon”.

¡Si sólo supieran dónde estaba el resto del manuscrito!

Después de la Primera Guerra Mundial, París y otras ciudades europeas se inundaron de obras de arte de Medio Oriente, pero nadie había visto la obra de Arquímedes.

En 1991, Félix de Marez Oyens empezó a trabajar para la casa de subastas Christies y en su nueva oficina encontró una carta de una familia francesa que decía que tenía un palimpsesto.

Intrigado, De Marez Oyens fue a examinar el libro.

“De inmediato supe que debía ser el manuscrito que Heiberg estudió por primera vez en 1906”, le contó a la BBC De Marez Oyens.

Los propietarios dijeron que en la década de 1920, un pariente que era un coleccionista aficionado había adquirido el manuscrito en Constantinopla. Ahora ellos querían venderlo.

Pero, ¿cuál es el precio de algo invaluable?

“Cualquier valoración de algo así es simplemente una suposición. Creo que les dije que valía entre US$550.000 y US$800.000”, dijo De Marez Oyens.

El manuscrito se vendió por mucho más. Un multimillonario anónimo pagó US$2.000.000.

Era 1998 y, gracias a que, unos meses después de comprarlo, el nuevo dueño depositó el manuscrito en The Walters Art Museum en Baltimore, Maryland, llegó por fin el momento de recuperar conocimientos perdidos durante más de dos milenios.

Científicos, conservadores, clasicistas e historiadores pusieron manos a la obra.

Utilizando tecnología como imágenes multiespectrales y una técnica de rayos X que hace brillar el hierro en la tinta que fue raspada, descubrieron que el documento no sólo contenía siete tratados de Arquímedes, sino además discursos del orador ateniense clásico Hiperides y un comentario sobre las Categorías de Aristóteles del II o III siglo d.C.

Entre los tratados del matemático griego estaba la única copia sobreviviente Stomachion de Arquímedes, en el que trata de descubrir de cuántas maneras se pueden recombinar 14 piezas fijas para formar un cuadrado perfecto.

La respuesta es 17.152 combinaciones.

Stomachion significa dolor de estómago, que es como se le decía en la antigüedad a los acertijos.

Se trata del primer trabajo para desarrollar la matemática de las combinaciones que son la base de las matemáticas de la probabilidad, algo que se pensaba que había surgido en el siglo XVII o XVIII.

Hasta el infinito

Notablemente, la lectura de El Método dejo claro que Arquímedes había dado un gran paso hacia la comprensión del infinito; más que eso, había usando el concepto como parte de un argumento en uno de los teoremas.

Arquímedes estaba aún más cerca de la ciencia moderna de lo que se creía. Aunque ya se sabía que había dado algunos pasos en la dirección que conduce al cálculo moderno, el palimpsesto mostró que, en cierto sentido, Arquímedes ya había llegado.

¿Qué habría pasado, entonces, si ese documento no se hubiera perdido? ¿Si lo hubieran tenido los matemáticos del Renacimiento?

“Habría cambiado las matemáticas, por supuesto, pero hay que tener en cuenta que éstas influyen en todas las ciencias, así que básicamente habría sido como subir la marea del conocimiento varios cientos de años atrás“, contestó Rorres.