Día de la Mujer: 5 teoremas matemáticos cuyas autoras (y sus fascinantes historias) quizás no conoces

Otra no vio otra opción que casarse por conveniencia para poder salir de su país y así explorar lo que por años se consideró socialmente inaceptable y hasta impensable: que una mujer estudiara matemáticas en su nivel más alto en la universidad.

• La extraordinaria matemática que mintió para que la tomaran en serio y ayudó a resolver “una de las ecuaciones más difíciles” de la historia

Tras años de luchas y conquistas académicas, muchas barreras se han derrumbado y en el Día Internacional de la Mujer, BBC Mundo recuerda las vidas, las contribuciones y los teoremas de cinco matemáticas de diferentes épocas que son referencia obligatoria para quienes se especializan en esa ciencia.

Sus apellidos aparecen en la lista de teoremas donde hay grandes matemáticos como Pitágoras, Fermat y Euler.

5. Teorema de Ratner

¿Quién fue Marina Ratner?

Nació en el seno de una familia judía en 1938 en la entonces Unión Soviética.

“A finales de los años 40, mi mamá fue despedida de su trabajo por intercambiar correspondencia con su madre, que vivía en Israel, considerado por el régimen soviético como un estado enemigo”, escribió Ratner, según una breve biografía sobre ella de los profesores John Joshep O’Connor y Edmund Frederick Robertson, de la Universidad St. Andrews, en Reino Unido.

“En 1952, el antisemitismo en la Unión Soviética estaba en pleno apogeo. Alguien podía ser despedido o arrestado en cualquier momento. A mi padre casi lo botan también, pero la muerte de Stalin en 1953 le salvó el empleo”.

Ratner se enamoró de las matemáticas desde niña y su dedicación y el alto nivel educativo en las ciudades de la Unión Soviética le permitieron profundizar en “la belleza” del álgebra y de la geometría. Resolver problemas matemáticos se convirtió en una pasión.

Tras la llegada al liderazgo del Partido Comunista de Nikita Khrushchev, la Universidad Estatal de Moscú aceptó el ingreso de estudiantes judíos y Ratner fue sometida a una prueba de admisión.

“Me invitaron a resolver 11 problemas en el pizarrón. Sólo solucioné diez. Me fui del examen convencida de que había fracaso y que no me admitirían. Pero me aceptaron y fue un momento de inflexión en mi vida”.

Estudió no sólo matemáticas sino Física y se graduó en 1961. En 1969 consiguió su doctorado.

Emigró a Israel, donde ejerció como docente en la Universidad Hebrea de Jerusalén entre 1971 y 1974.

Su interés en los sistemas dinámicos geométricos le permitió entrar en contacto con la Universidad de California en Berkeley, que la invitó a unirse a sus investigaciones en ese campo.

En 1975, se fue a Estados Unidos y en 1982 ya era profesora titular en esa casa de estudios.

Sus aportes a la teoría ergódica o los sistemas dinámicos geométricos son considerados trascendentales. Pero su legado va mucho más allá de sus investigaciones y los premios que consiguió: los estudiantes que pasaron por sus clases y a los que ha inspirado en todo el mundo.

¿Cuál fue su principal contribución?

Alex Furman, profesor de Matemáticas de la Universidad de Illinois, en Chicago, le explica a BBC Mundo que el campo de investigación de Ratner fue “la matemática pura”.

“Una secuencia de teoremas que ella probó alrededor de los 90, que se volvieron mejor conocidos como el Teorema Ratner (o los Teoremas de Ratner), tuvo y sigue teniendo un gran impacto en ese campo y ha tenido una impresionante gama de aplicaciones en sistemas dinámicos, teoría de los números y en algunas áreas de la física matemática”, señala.

El docente menciona que una indicación del importante rol que los sistemas dinámicos juegan en las matemáticas modernas es la Medalla Fields, considerada el Premio Nobel de la matemática, el mayor reconocimiento para quienes se dedican a esa ciencia.

“(Los ganadores son) Un grupo muy pequeño y selecto. Entre los medallistas recientes están Elon Lindenstrauss, Artur Avila y Maryam Mirzakhani, que son representantes de los sistemas dinámicos. Los trabajos de Lindenstrauss y Mirzakhani, por ejemplo, fueron inspirados en particular por el Teorema de Ratner”, indica el especialista.

De hecho, la iraní Mirzakhani se convirtió en 2014 en la primera mujer en ganar la Medalla Fields desde que la premiación comenzó en 1936.

Ratner murió el 7 de julio de 2017 a los 78 años. Mirzakhani falleció pocos días después a los 40 años.

¿En qué consiste su teorema?

Furman explica que su teorema o teoremas muestran que “en una cierta clase de sistemas dinámicos, todo comportamiento complicado se explica por ciertas restricciones algebraicas explícitas”.

“La posibilidad de entender estos sistemas vía el algebra hace esta herramienta extremadamente poderosa y permite desbloquear muchos rompecabezas“.

Y es que muchos sistemas dinámicos pueden ser extremadamente caóticos, como lo demuestran, por citar un ejemplo, los modelos de predicción meteorológica.

En conexión con esa idea, desde España, Clara Grima, profesora del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Sevilla, le explica a BBC Mundo que, en general, los flujos (de fluidos, por ejemplo) tienden a tener comportamientos caóticos, es decir, presentan turbulencias.

“Sin embargo, Ratner probó que en ciertos espacios llamados homogéneos, que tienen el mismo aspecto en cualquier punto (por ejemplo, una esfera), una clase especial de flujo tiene siempre un comportamiento no caótico“, señala.

“Lo interesante de estos teoremas es que han jugado un papel fundamental en la resolución de una conjetura (la de Oppenheim) en una disciplina que puede parecer muy alejada como es la teoría de números”.

Pero, en términos prácticos, dice la docente, cualquier avance en el campo del comportamiento de fluidos tiene un impacto importante en, por citar sólo dos ejemplos, la aerodinámica y el transporte.

4. Teorema de Morawetz

¿Quién fue Cathleen Morawetz?

Mucho antes de que el movimiento #MeToo se volviera global, Cathleen Morawetzsupo lo que era el acoso sexual como estudiante universitaria.

“Pero eso no significó nada porque el perpetrador se dio cuenta de que era la hija de uno de sus colegas en la facultad y se detuvo inmediatamente”, contó la matemática en una entrevista, en 2012, con la Fundación Simons, una organización privada estadounidense que financia investigaciones científicas.

El padre de Morawetz era el prominente matemático irlandés John Lighton Synge, quien fue profesor de la Universidad de Toronto, en Canadá.

La influencia en su hija fue determinante desde su infancia. Cuando le preguntaban qué quería ser de adulta, decía “matemática”, aunque “no tenía ni idea de lo que era eso”.

“Era mi admiración por él lo que me hacía decir eso”, dijo en esa entrevista. “Su actitud era que las mujeres podían hacer cualquier cosa“.

Eso la marcó, como también lo hizo la insistencia de su madre, Elizabeth, de que “tuviera una carrera”.

Morawetz nació en 1923 en Canadá. Estudió en Universidad de Toronto y se trasladó a Estados Unidos para continuar con su formación de posgrado.

Su carrera, que estuvo llena de logros científicos y de honores académicos, la compaginó con la maternidad, algo que para su época no era muy común y, a veces, poco aceptado.

“Después de tener cuatro hijos, un colega, cuyo nombre mantendré en secreto, vino a mi oficina, se sentó al frente de mí y me empezó a decir cuán terrible y malo iba a ser para mis hijos (crecer mientras yo trabajaba) y que eso nos iba a traer decepciones. Lo escuché y le dije que no podía creer lo que me estaba diciendo. Se fue y, por supuesto, mis hijos me salieron muy bien”, evocó.

En una entrevista con la publicación especializada Science, en 1979, la investigadora recordó que con frecuencia la gente le preguntaba si se preocupaba por sus hijos cuando estaba en el trabajo.

“Y les respondía: ‘No, es como si me preocupara por un teorema cuando estoy con mis hijos”.

¿Cuál fue su principal contribución?

Morawetz “es mejor conocida por sus contribuciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales y las propagaciones de ondas que finalmente llevaron a aplicaciones avanzadas en aerodinámica, acústica y óptica”, explica la Fundación Nacional de Medallas de Ciencia y Tecnología de Estados Unidos.

De hecho, Morawetz fue la primera mujer en recibir dicha condecoración y la primera en dirigir el prestigioso Instituto de Ciencias Matemáticas Courant de Nueva York.

La matemática descubrió “que la óptica geométrica podía usarse para determinar los campos acústicos y electromagnéticos dispersados por los objetos”.

“Sus hallazgos llevaron a un uso más práctico de este enfoque y a nuevos estudios en diseños de aviación que minimizaron el efecto de las ondas de choque en los aviones“.

¿En qué consiste su teorema?

De acuerdo con la Universidad de Nueva York, en 1956 Morawetz resolvió “lo que era un misterio de la ingeniería, al demostrar que no hay un diseño aerodinámico que elimine las ondas de choques a velocidades supersónicas”.

“El teorema de la doctora Morawetz mostró que, contrario a las esperanzas de los ingenieros, un diseño sin impacto ‘quizás era teóricamente posible pero en la práctica, imposible'”, le dijo a The Washington Post el profesor de Matemáticas de la Universidad de Nueva York, Robert V. Kohn.

Sus estudios posteriores la llevaron a introducir las técnicas que ahora se conocen como “las desigualdades de Morawetz” y las “estimaciones de Morawetz”, cuyas aplicaciones son muy amplias.

Morawetz es considerada “una matemática cuyos teoremas se han usado para solucionar problemas prácticos de ingeniería”, recordaba The New York Times en agosto de 2017, tras la muerte de la científica a los 94 años.

Cuando en una ocasión se le preguntó si su objetivo era resolver problemas o crear teorías, respondió: “Soy una matemática aplicada que prueba teoremas para solucionar problemas”, recuerda la Sociedad Matemática Estadounidense (AMS).

3. Teorema de Cartwright

¿Quién fue Mary Cartwright?

Nació en 1900 en Inglaterra y aunque le gustaban las matemáticas y la historia por igual, decidió especializarse en la primera disciplina.

Ingresó a la Universidad de Oxford en 1919. Fue una de las cinco mujeres que estudiaba matemáticas ese año.

“Fue un momento difícil para entrar a la universidad ya que, como acababa de terminar la Primera Guerra Mundial, había un gran número de hombres que regresaban del ejército y estaban retomando los estudios universitarios que habían comenzado antes de la guerra o estaban iniciando sus estudios por primera vez”, cuentan en una breve biografía sobre Cartwright los profesores O’Connor y Robertson.

“Las salas de conferencias estaban abarrotadas y, a menudo, Cartwright tenía que copiar notas de las clases a las que no podía entrar debido a la multitud”.

Pero aunque estuvo tentada a enfocarse en su otra pasión, la historia, no lo concretó.

Se graduó en 1923 con honores y a lo largo de su carrera hizo importantes contribuciones en diversas áreas de la disciplina, ocupó posiciones de liderazgo científico y recibió varios honores.

¿Cuál fue su principal contribución?

En el artículo “Mary, queen of maths” (“Mary, reina de las matemáticas”) de la BBC, Cartwright es descrita como un “genio matemático con una alma modesta” y se cuenta su rol clave en el nacimiento de “todo un nuevo campo de la ciencia“, aunque en ese momento no fuese reconocido.

En 1938, ante la sombra de la guerra en Europa, el gobierno británico le pidió a la Sociedad Matemática de Londres ayuda para resolver un problema relacionado con una ecuación, narra la historiadora británica Lisa Jardine en ese artículo.

Era un secreto vinculado con el desarrollo del radar.

La solicitud llamó la atención de Cartwright, quien era profesora de matemáticas en Cambridge y estudiaba ecuaciones similares.

Unió esfuerzos con el profesor John Edensor Littlewood y demostraron que “a medida que la longitud de onda de las ondas de radio se acorta, su rendimiento deja de ser regular y periódico y se vuelve inestable e impredecible”, evoca la historiadora.

Eso fue una luz para los ingenieros que en sus esfuerzos por mitigar el problema, empezaron a “mantener los equipos (del sistema de radar) dentro de rangos predecibles”.

De acuerdo con Jardine, el trabajo original e innovador de Cartwright pasó relativamente desapercibido cuando se publicó tras el fin de la guerra.

El mea culpa del distinguido físico e intelectual Freeman Dyson es extraordinario:

“Cuando escuché la conferencia de Cartwright en 1942, recuerdo haber quedado encantando con la belleza de los resultados. Pude ver la belleza de su trabajo pero no pude ver su importancia. Me dije: ‘Este es un hermoso trabajo. Qué lástima que se trate sólo de un problema práctico de tiempos de guerra y no de matemáticas reales’. No dije: ‘Este es el nacimiento de un nuevo campo de las matemáticas’. Compartí los gustos y prejuicios de mis contemporáneos“.

El “nuevo campo” del que Dyson hablaba era la teoría del caos.

“La temprana contribución de Cartwright al campo es ahora reconocida en todas las historias que se han hecho sobre el tema, pero pasó por alto por casi 20 años”, reflexiona la historiadora.

Como plantea Jardine, fue en 1961 cuando empezamos a tener conciencia de que el comportamiento caótico “es una parte vital de muchos de los sistemas físicos en el mundo”.

Y sucedió cuando el matemático y meteorólogo estadounidense Edward Lorenzhizo una simulación del clima en una computadora.

Tras varios intentos inmortalizó una frase: “¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil producir un tornado en Texas?“

Así se popularizó el concepto del llamado “efecto mariposa“, algo que, aunque sin ese nombre, Cartwright ya había percibido muchos años antes.

¿En qué consiste su teorema?

Años antes de que se abocara a estudiar las ondas de radio y el sistema del radar, Cartwright resolvió, en 1930, uno de los problemas que Littlewood (en esa época su profesor) había propuesto en Cambridge.

Lo hizo con un nuevo enfoque a través de una técnica, concebida por el matemático finlandés Lars Ahlfors, para el concepto de transformación o geometría conforme.

“Su teorema, ahora conocido como Teorema de Cartwright, dio una estimación del módulo máximo de una función analítica que toma el mismo valor no más de pveces en el disco unidad”, explican los profesores O’Connor y Robertson.

2. Teorema de Noether

¿Quién fue Emmy Noether?

Nació en Alemania en 1882.

Su padre, el matemático Max Noether, enseñaba en la Universidad de Erlangen, donde, en 1898, se había declarado que admitir que mujeres estudiantes “derrocaría todo el orden académico”.

Sin embargo, años después, Noether fue una de las dos estudiantes a la que se le permitió inscribirse en esa universidad.

Pero no con los mismos derechos que el resto de estudiantes. Sólo se le permitía entrar como oyente a las clases y si los profesores daban la autorización expresa, cuenta la Sociedad Estadounidense de Física (APS, por sus siglas en inglés: American Physical Society).

Aun así, se graduó en 1903 y al año siguiente se fue a estudiar unos meses a la Universidad de Gotinga.

Regresó a Erlangen, donde pese a que la universidad empezó a permitir a mujeres estudiantes, continuaba excluyendo a las mujeres de posiciones en la facultad.

“Noether enseñó en Erlangen por los siguientes siete años sin salario, en algunas ocasiones reemplazando a su padre”, indica Michael Lucibella, autor de la biografía sobre Noether publicada por la APS.

En 1915, el gran matemático alemán David Hilbert trató de llevarla a la Universidad de Gotinga, pero recibió el rechazo de sus colegas.

“¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y encuentren que se les pedirá que aprendan de una mujer?”, un profesor se quejó de la propuesta.

A lo que Hilbert respondió: “No veo por qué el sexo de los candidatos sea un argumento contra su admisión. Somos una universidad, no un sauna“.

Noether tuvo que dar clases bajo el nombre de Hilbert por los siguientes cuatro años y sin pago alguno.

Lucibella explica que la esperanza de Hilbert de contar con la matemática en la Universidad de Gotinga era que su conocimiento y experiencia sobre “la teoría invariante (…) pudiera ser llevada a la incipiente teoría general de la relatividad de Albert Einstein, que parecía violar la (ley) de la conservación de energía”.

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Y no se equivocó. Lo hizo con resultados que despertaron la admiración de Einstein: “La vieja guardia de Gotinga debería aprender de la señorita Noether. Verdaderamente sabe lo que hace“, dijo el físico.

¿Cuál fue su principal contribución?

A Noether se le considera la madre del algebra moderna con sus teorías sobre anillos y cuerpos.

Pero su aporte a la ciencia no se restringe a las matemáticas.

Su trabajo es fundamental para entender la teoría de la relatividad, pues ella le introdujo elementos del algebra. De hecho, es clave para comprender todas las teorías de la física.

Sólo basta mencionar una serie de conceptos y teoremas para darse cuenta de su impacto en la matemática y la física: grupos noetherianos, módulos noetherianos, espacios topológicos noetherianos, la dimensión de Noether, anillos noetherianos, la invariable Noether, el teorema de Noether-Lasker, el teorema de Noether-Skolem, el teorema de Noether-Brill.

Tras el ascenso del nazismo en Alemania, Noether, quien era judía, se vio forzada a ir a Estados Unidos, donde continuó su fructífera vida académica y docente.

Cuando murió en 1935, Albert Einstein escribió una carta que dirigió a The New York Times.

“A juicio de los matemáticos vivos más competentes, la señorita Noether fue el genio matemático creativo más importante que haya existido desde que comenzó la educación superior para las mujeres.

En el campo del álgebra, en el cual los matemáticos más talentosos han estado ocupados por siglos, ella descubrió métodos que han probado ser de una importancia enorme en el desarrollo de la actual generación de matemáticos jóvenes.

La matemática pura es, a su manera, la poesía de las ideas lógicas”.

¿En qué consiste su teorema?

Cuando le pregunté a Martin Hairer, ganador de la Medalla Fields en 2014, cuál era su teorema -hecho por una matemática- favorito me respondió: “El teorema de Noether”.

“Me gusta el hecho de que vincula un concepto muy abstracto (el de la simetría) con el hecho concreto de que algunas cantidades se conservan a lo largo del tiempo”.

“Ese teorema relaciona las simetrías con las invariantes del movimiento“, explica el profesor del departamento de Matemáticas del Imperial College de Londres.

“En general, un sistema tiene simetría cuando se le puede aplicar alguna transformación sin alterarlo. Por ejemplo, un cuadrado tiene varias simetrías: podemos girarlo en un ángulo recto, reflejarlo a lo largo de su diagonal, etc., y siempre obtenemos el mismo cuadrado”.

“Un círculo tiene muchas más simetrías: podemos rotarlo en cualquier ángulo y seguimos teniendo exactamente el mismo círculo, lo que no sucede con el cuadrado. En este caso, decimos que el círculo tiene una simetría continua”, le indica a BBC Mundo el matemático austriaco.

De acuerdo con Hairer, este teorema es más importante para la física que para la matemática, “ya que sustenta gran parte de nuestra intuición sobre cómo funcionan las leyes de la naturaleza”.

De hecho, para muchos físicos, este teorema es “el más bello del mundo”. Y para muchos expertos, Noether es la matemática más brillante que ha existido.

“Gracias al teorema de Noether, ahora es completamente impensable no poner las consideraciones de la simetría al frente y al centro del desarrollo de cualquier tipo de teoría física”, añade el profesor.

1. Teorema Cauchy-Kovalevskaya

¿Quién fue Sofya Kovalevskaya?

Sofya, quien también era conocida como Sonya, nació en 1850 en Rusia.

En 1868 se casó, pero no lo hizo por amor.

En la sociedad del imperio ruso, las mujeres tenían prohibido estudiar en la universidad y las que aspiraban a hacerlo en uno de los poquísimos países con menos restricciones, tenían que contar con el permiso de su padre o de su esposo.

Y aunque a su papá no le molestaba su interés en las matemáticas de alto nivel, ella pensaba que no la dejaría viajar a Europa Occidental.

Fue así como ideó un plan: casarse por conveniencia y, para ello, escogió al editor, traductor y aficionado a la biología Vladimir Kovalevsky.

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Vladimir se prestó a fingir el matrimonio legal, una práctica que “se había puesto de moda” para ayudar a la esposa “a eludir las trabas y dificultades de una sociedad que discriminaba brutalmente a las mujeres. Después, cada uno hacía la vida por su cuenta“.

Así lo cuenta el profesor J.M. Méndez Pérez, del departamento de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna, en España, en una biografía de Kovalevskaya.

La pareja se radicó en Alemania y, aunque “allí no era legal, si los profesores lo autorizaban, (una mujer) podía asistir a clase”, explica el docente.

Y Kovalevskaya lo logró, pudo escuchar a eruditos de la física y la matemática de la época.

Pese a que sabía que en ese país no iba a poder inscribirse en la universidad, obtuvo el apoyo de quien es considerado el padre del análisis matemático moderno, Karl Weierstrass.

Tras impresionarlo con su agilidad para resolver problemas, consiguió que le diera clases particulares en Berlín.

La eminencia de las matemáticas del siglo XIX le dirigió la tesis (de doctorado) y logró que la Universidad de Gotinga “autorizara en 1874 la lectura de la Tesis in absentia, es decir, sin la habitual defensa oral”.

De esa forma, Sofya se convirtió en Doctora en Matemáticas y con ello en la primera mujer en Europa que lo conseguía.

¿Cuál fue su principal contribución?

“Su trabajo fue importante no sólo por su aporte a la teoría básica de las ecuaciones en derivadas parciales, sino también porque algunas especulaciones que hizo sobre soluciones posibles a problemas abiertos han terminado siendo correctas”.

Así se los explicó a BBC Mundo Ann Hibner Koblitz, autora de “A Convergence of Lives: Sofia Kovalevskaia – Scientist, Writer, Revolutionary” (“Una convergencia de vidas: Sofia Kovalevskaia – científica, escritora, revolucionaria”).

Sofya inventó formas de analizar el movimiento de un cuerpo en rotación sobre un punto fijo, lo cual se conoce como el Kovalevskaya top.

Y ahí es, en parte, donde reside la trascendencia de su legado.

“Su logro más importante es la investigación de la teoría de rotación de cuerpos rígidos“, le indicó a BBC Mundo Yakov Nikitin, profesor de la facultad de Matemáticas de la Universidad de San Petersburgo.

“Los primeros pasos cruciales fueron dados por los grandes matemáticos Euler y Lagrange. Kovalevskaya resolvió el tercer y último caso de la teoría”.

¿En qué consiste su teorema?

Augustin-Louis Cauchy fue un matemático y físico francés que hizo contribuciones pioneras en ambos campos.

De sus estudios, surgió una incógnita: “Se denomina problema de Cauchy al planteado mediante una ecuación diferencial, ordinaria o en derivadas parciales, acompañada de ciertos datos iniciales”, indica Méndez Pérez.

Weierstrass se interesó en ese problema y le propuso a Kovaleskaya que lo investigara.

Y ella lo hizo con éxito. Demostró lo que se conoce como el Teorema Cauchy-Kovalevskaya.

De acuerdo con Clara Grima, profesora de la Universidad de Sevilla, ese teorema plantea que si se dan “buenas” condiciones es posible hallar la solución de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales y que esa solución es única.

Las ecuaciones en derivadas parciales son “un conjunto de ecuaciones en las que la incógnita es una función de la que conocemos solo cómo varían sus derivadas parciales”, le señala la experta a BBC Mundo.

Existen muchos teoremas de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales, pero este es uno de los más importantes porque se puede utilizar en muchos casos, dice Grima.

“Solo hay que pensar en la multitud de fenómenos dinámicos (que cambian en el tiempo) que se pueden expresar como un sistema de ecuaciones de este tipo: la predicción del tiempo, la difusión del calor, la propagación de un incendio o la de una epidemia”.

*Esta historia fue investigada y publicada en respuesta a nuestros lectores que nos enviaron sugerencias sobre temas que querían leer para el Día de la Mujer.